Question

如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上的一点，且PA＝PD，⊙O为△APD的外接圆．

（1）试判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若AC＝8，tan∠DAC＝，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）直线AB与⊙O相切．连结OA、OP，设OP与AD交于点H．

∵PA＝PD，∴P为的中点

∴OP⊥AD，∴∠AHP＝90°……………1分

∵四边形ABCD是菱形，∴∠DAC＝∠BAC，

又∵OA＝OP，∴∠OAP＝∠OPA．……2分

∵在Rt△AHP中，∠DAP＋∠OPA＝90°．

∴∠OAB＝∠OAP＋∠BAC＝∠OPA＋∠DAP＝90°．

即OA⊥AB，……………3分

∵点A在⊙O上，∴直线AB与⊙O相切．……………4分

（2）连结BD交AC于点E，则AC⊥BD．设⊙O的半径为r．

∵在Rt△AED中，AC＝8，tan∠DAC＝，∴DE＝2   ……………5分

由勾股定理，得AD＝＝＝2，∴AH＝．…………6分

在Rt△AHP中，由，tan∠DAC＝，得HP＝…………7分

在Rt△AHO中，由勾股定理得：AH²＋OH²＝OA²，即（）²＋（r－）²＝r ²，

解得：r＝．…………8分