Question

如果一条抛物线y=ax²+bx+c的顶点在x轴上（不在原点），那么以该抛物线的顶点和与y轴的交点及原点所构成的三角形称为此抛物线的“坐标轴三角形”
（1）此坐标轴三角形是一个什么三角形？
（2）若抛物线y=x²+bx+c（b＜0）的“坐标轴三角形”是等腰三角形，求解析式；
（3）△OAB是抛物线y=x²+mx+n的“坐标轴三角形”，是否存在以y轴为对称轴的等边三角形？若存在，需将y=x²+mx+n进行怎样的平移才能恰好经过A、C两点，并求平移后的解析式．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）求出以点O为顶点的角是直角，然后判断即可；
（2）根据抛物线顶点在x轴上列式表示出b、c的关系，再求出抛物线与坐标轴的交点，然后根据等腰三角形两腰相等列出方程求解即可；
（3）根据抛物线顶点在x轴上列式表示出m、n的关系，表示出抛物线与坐标轴的交点，然后利用等边三角形的性质列出方程求出m、n，再根据等边三角形的对称性解答．

解答：解：（1）∵顶点在x轴上，另一交点在y轴上，
∴以点O为顶点的角是直角，
∴坐标轴三角形是直角三角形；

（2）∵抛物线顶点在x轴上，
∴

4×1×c-b2

4×1

=0，
∴b²=4c，
令x=0，则y=c，
抛物线与x轴的交点坐标为（-

b

2

，0），
∵“坐标轴三角形”是等腰三角形，
∴-

b

2

=c，
∴b=-2c，
∴（-2c）²=4c，
解得c₁=1，c₂=0（舍去），
∴b=-2，
∴抛物线解析式为y=x²-2x+1；

（3）∵抛物线顶点在x轴上，
∴

4×1×n-m2

4×1

=0，
∴m²=4n，
令x=0，则y=n，
抛物线与x轴的交点坐标为（-

m

2

，0），
∵“坐标轴三角形”是等边三角形，
∴n=

3

•|-

m

2

|
∴|m|=

2 3

3

n，
∴（

2 3

3

n）²=4n，
解得n₁=3，c₂=0（舍去），
∴m=±2

3

，
∴抛物线解析式为y=x²+2

3

x+3或y=x²-2

3

x+3，
∵等边三角形以y轴为对称轴，
∴y=x²+2

3

x+3平移后的解析式为y=x²-2

3

x+3，
y=x²-2

3

x+3平移后的解析式为y=x²+2

3

x+3．

点评：本题是二次函数综合题融入了新定义的形式，涉及到：二次函数的性质及解析式的确定、等腰直角三角形的判定和性质、等边三角形的性质，难度不大，重在考查基础知识的掌握情况．