Question

如图，已知直线y=x+8与x轴、y轴分别交于点A、B．线段AO上的一个动点C从A出发以每秒1个单位的速度沿A→O移动（C与A，O不重合），果C作CD∥AB，交y轴于点D，将四边形ACDB沿CD对折，可得四边形CEFD，设点C的运动时间为t秒．
（1）直线y=x+8与坐标轴的交点坐标是A

 

，B

 

．
（2）在图①中画出四边形ACDB沿CD对折后的图形（不写画法）．
（3）若EF交x轴于G点，求证：四边形CGFD为平行四边形；并求t为何值时，四边形CGFD为菱形（计算结果不需要化简）．
（4）设四边形DCEF落在第三象限内的图形面积为S，求S关于t的函数表达式，并求出S的最大值．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得图象与坐标轴的交点坐标；
（2）根据轴对称的性质，可得轴对称图形；
（3）根据对应线段平行于对称轴，可得EF与CD的关系，根据等腰直角三角形的性质，可得∠ABO，根据平行线的性质，可得∠CDO，根据邻补角，可得∠BDC，再根据轴对称的性质，可得∠CDF，根据角的和差，可得∠BDF，根据平行四边形的判定，可得CGFD为平行四边形；根据等腰梯形的判定，可得BD与AC的关系，根据轴对称的性质，可得DF的长，根据勾股定理，可得CD的长，根据菱形的判定，可得答案；
（4）分类讨论：当0＜t≤4时，根据三角形的面积公式，可得函数解析式，根据二次函数的性质，可得答案；当4＜t＜8时，根据面积的和差，可得函数解析式，根据二次函数的性质，可得答案．

解答：解：（1）（-8，0），（0，8）；
（2）如图1：
；
四边形CEFD即为四边形ACDB沿CD对折后的图形，
（3）∵四边形CEFD与四边形ACDB关于直线CD对称，CD∥AB，
∴EF∥CD．
∵OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠ABO=45°，
∵AB∥CD，
∴∠CDB=135°．∠CDF=∠CDB=135°．∠BDF=360°-2×135°，即DF⊥y轴，
∴DF∥CG，
∴四边形CGFD是平行四边形．
如图2，要使四边形CGFD为菱形，只需CD=DF．

∵AB∥CD，∠CAB=∠DBA，
∴AC=BD．
∴DF=BD=AC=t．
又∵OC=OD=8-t，
∴CD=

2

（8-t）．
∴

2

（8-t）=t．
∴t=

8 2

1+ 2

=16-8

2

，
当t=16-8

2

时，四边形CGFD为菱形；
（4）分两种情况讨论：
①当0＜t≤4时，四边形CEFD落在第三象限内的图形是△CEG，
∴S=

1

2

t²，∵S=

1

2

t²在t＞0时，S随t的增大而增大，
∴当t=4时，S_最大=

1

2

×4²=8；
②当4＜t＜8时，如图3，
，
四边形CEFD落在第三象限内的图形是CEHO，其中H为EF与y轴的交点，
CG=CE=t，CO=8-t，OG=OH=t-（8-t）=2t-8，
∴S_{四边形COHE}=S_△CEG-S_△OGH
S=

1

2

t²-

1

2

（2t-8）²=-

3

2

t²+16t-32=-

3

2

（t-

16

3

）²+

32

3

，
∵a=-

3

2

＜0，
∴S有最大值，
当t=

16

3

时，S_最大=

32

3

．

点评：本题考查了一次函数综合题，（1）利用了自变量与函数值的对应关系；（2）利用了轴对称的性质；（3）利用了等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定；（3）利用了三角形面积公式，面积的和差，二次函数的性质，利用知识点多综合性较强．