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【题目】把Rt△ABC和Rt△DEF按如图(1)摆放(点CE重合),点BCE)、F在同一条直线上.已知:∠ACB=∠EDF=90°,∠DEF=45°,AC=8cm,BC=6cm,EF=10cm.如图(2),△DEF从图(1)的位置出发,以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动,在△DEF移动的同时,点P从△ABC的顶点A出发,以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动;当点P移动到点B时,点P停止移动,△DEF也随之停止移动.DEAC交于点Q,连接PQ,设移动时间为t(s).

(1)用含t的代数式表示线段APAQ的长,并写出t的取值范围;

(2)连接PE,设四边形APEQ的面积为y(cm2),试探究y的最大值;

(3)当t为何值时,△APQ是等腰三角形.

【答案】(1)AP=2tAQ=8﹣tt的取值范围是:0≤t≤5;(2)cm2;(3)时,△APQ是等腰三角形.

【解析】试题分析:(1)根据题意以及直角三角形性质表达出CQAQ,从而得出结论,

2)作PGx轴,将四边形的面积表示为SABCSBPESQCE即可求解,

3)根据题意以及三角形相似对边比例性质即可得出结论.

1)解:AP=2t

∵∠EDF=90°DEF=45°

∴∠CQE=45°=DEF

CQ=CE=t

AQ=8﹣t

t的取值范围是:0≤t≤5

2)过点PPGx轴于G,可求得AB=10SinB=PB=102tEB=6t

PG=PBsinB=102t

y=SABCSPBESQCE=

=

=

∴当(在0≤t≤5内),y有最大值,y最大值=cm2

3)若AP=AQ,则有2t=8t解得: s

AP=PQ,如图①:过点PPHAC,则AH=QH=PHBC

∴△APH∽△ABC

解得: s

AQ=PQ,如图②:过点QQIAB,则AI=PI=AP=t

∵∠AIQ=ACB=90°A=A

∴△AQI∽△ABC

解得: s

综上所述,当时,APQ是等腰三角形.

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