Question

如图，在半径为5的⊙O中，AB是直径，点C是⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若点E是半圆的中点，AD和⊙O交于点F，AF=6，连接FE，交AC于点G，连结OG，求S_△AOG．

Answer 1

考点：切线的性质,勾股定理,切线长定理

专题：

分析：（1）由CD与⊙O相切，AD⊥CD，可得AD∥OC，继而可得∠CAD=∠CAO，即AC平分∠DAB；
（2）首先连接BF，过点G分别作GP⊥AB，GM⊥AD，GN⊥FB，垂足为点P、M、N，可证得四边形MGNF是矩形，继而可得矩形MGFN是正方形，然后设设MF=a，则由切线长定理得：AM=AP=6-a，BN=BP=8-a，由AP+BP=AB，可得：（6-a）+（8-a）=10，继而求得答案．

解答：（1）证明：∵CD与⊙O相切，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∵AD⊥CD．
∴∠ADC=90°，
∴∠OCD+∠ADC=180°，
∴AD∥OC，
∴∠ACO=∠CAD，
∵OA、OC为⊙O半径，
∴OA=OC，
∴∠ACO=∠CAO，
∴∠CAD=∠CAO，
∴AC平分∠DAB；

（2）解：连接BF，过点G分别作GP⊥AB，GM⊥AD，GN⊥FB，垂足为点P、M、N，
∵AB是⊙O直径，半径为5，
∴∠AFB=90°，AB=10，
在Rt△AFB中由勾股定理得：BF=8，
∵GM⊥AD，GN⊥FB，
∴∠GMF=∠GNF=∠AFB=90°，
∴四边形MGNF是矩形，
∵点E是半圆的中点，
∴∠AFE=∠BFE，
∴EF平分∠AFB，
∴GM=GN，
∴矩形MGFN是正方形，
∴MF=FN=MG=GN，
又∵AC平分∠DAB，
∴点G为⊙O的内心，
又∵GP⊥AB，GM⊥AD，GN⊥FB，
∴点P、M、N为△ABF与内切圆⊙G的切点，且GP=GM=GN，
∴设MF=a，则由切线长定理得：AM=AP=6-a，BN=BP=8-a，
由AP+BP=AB，可得：（6-a）+（8-a）=10，
解得：a=2，
∴FM=GP=2，
∴S_△AOG=

1

2

OA•GP=

1

2

×5×2=5．

点评：此题考查了切线的性质、正方形的判定与性质、切线长定理以及内切圆的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．