Question

已知，如图，△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，BD为∠ABC的角平分线交AC于D，过点D作DE垂直AB于点E，
（1）求AE的长；
（2）求BD的长．

Answer 1

考点：角平分线的性质,勾股定理

专题：

分析：（1）利用勾股定理列式求出BC，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD=DE，再利用“HL”证明Rt△BCD和Rt△BED全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=BC，再根据AE=AB-BE计算即可得解；
（2）设CD=DE=x，利用勾股定理列式求出x，再利用勾股定理列式计算即可求出BD．

解答：解：（1）∵∠C=90°，AB=10，AC=8，
∴BC=

AB2-AC2

=

102-82

=6，
∵BD为∠ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴CD=DE，
在Rt△BCD和Rt△BED中，

BD=BD CD=DE

，
∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），
∴BE=BC=6，
∴AE=AB-BE=10-6=4；

（2）设CD=DE=x，则AD=8-x，
在Rt△ADE中，AE²+DE²=AD²，
即4²+x²=（8-x）²，
解得x=3，
所以，CD=DE=3，
在Rt△BCD中，BD=

BC2+CD2

=

62+32

=3

5

．

点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，难点在于（2）多次利用勾股定理．