Question

【题目】将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，是坐标原点，点坐标为，点坐标为，，点是边上一点(点不与点，点重合)，沿折叠该纸片，点的对应点为点，连接．

（1）如图1，当点在第一象限，且时，求点的坐标；

（2）如图2，当点为的中点时；

①求证：；

②直接写出四边形的面积；

（3）当时，直接写出点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①见解析；②；（3）点的坐标（，）或（，）．

【解析】

（1）由点A和B的坐标得出OA=，OB=2，由折叠的性质得：OA'=OA=，由勾股定理求出A'B=，即可得出点A'的坐标为（，2）；

（2）①由直角三角形斜边上的中线得∠1=∠2=30゜，由折叠得∠3=∠4=30゜，故可得，从而可得结论；

②由折叠得，根据直角三角形中30゜角对的直角边等于斜边的一半得，进一步可求出四边形的面积；

（3）分两种情况：①易得∠APA'=150°，连接AA′，延长OP交AA′于E，则∠APE=75°，∠OPB=75°，求出AB=，则∠BAO=30°，∠OBA=60°，推出∠BA′P=30°，∠OPA′=105°，得出∠A′OP=45°，则点A'在y轴上，∠A'OP=∠AOP=∠AOB=45°，得出点P在∠AOB的平分线上，由待定系数法求出直线AB的解析式为y=-x+2，即可得出点P的坐标；

②由折叠的性质得：∠A'=∠A=30°，OA'=OA，作出四边形OAPA'是菱形，得出PA=OA=，作PM⊥OA于M，由直角三角形的性质求出PM=PA=，把y=代入y=-x+1求出点P的纵坐标即可．

(1)解: ∴，，

∴，.

∵折叠得到，

∴，

∵，

∴，

在中，，

∴.

（2）①证明:如图，在中，，

为的中点，即为中线，

∴，

∴，

∴.

又∵ 折叠得到，

∴，，

∵，

∴.

∴.

∴，

∴，

∴，

∴.

②过点作轴，

在Rt△ABO中，OA=，OB=2，

∴AB=，

∵P是AB的中点，

∴AP=BP=2，OP=AB=2，

∴OB=OP=BP

∴

∴，

∵OB∥PA'，

∴四边形OPA'B是平行四边形，

由①得，

∴

∴四边形OPA'B的面积为；

（3）设P（x，y），分两种情况：

①∵∠BPA'=30°，

∴∠APA'=150°，

连接AA′，延长OP交AA′于E，如图③所示：

则∠APE=75°，

∴∠OPB=75°，

∵OA=，OB=1，

∴AB==4，

∵∠OBA=60°，

∴

∴

∵∠BPA'=30°，

∴∠OPA′=105°，

∴∠A′OP=180°-30°-105°=45°，

∴点A'在y轴上，

∴∠A'OP=∠AOP=∠AOB=45°，

∴点P在∠AOB的平分线上，

设直线AB的解析式为y=kx+b，

把点A(，0)，点B（0，1）代入得：

，

解得：，

∴直线AB的解析式为y=-x+2，

∵点P在∠AOB的一部分线上

∴P（x，x），

∴x=-x+2，

解得：x=，

∴P（，）；

②如图④所示：

由折叠的性质得：∠A'=∠A=30°，OA'=OA，

∵∠BPA'=30°，

∴∠A'=∠A=∠BPA'，

∴OA'∥AP，PA'∥OA，

∴四边形OAPA'是菱形，

∴PA=OA=，

作PM⊥OA于M，如图④所示：

∵∠A=30°，

∴PM=PA=，

把y=代入y=-x+2得：=-x+2，

解得：x=，

∴P（，）；

综上所述：当∠BPA'=30°时，点P的坐标为（，）或（，）．