Question

如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=3，BC=4，点E在AB边上，BE=3，∠CED=90°．
（1）求CE的长度；
（2）求证：△ADE≌△BEC；
（3）设点P是线段AB上的一个动点，求DP+CP的最小值是多少？

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,勾股定理,轴对称-最短路线问题

专题：

分析：（1））由∠B=90°，BC=4，BE=3，根据勾股定理求出CE；
（2）先证出∠DEA=∠ECB，即可证明△ADE≌△BEC；
（3）作点D关于AB的对称点F，连接CF交AB于点P，再用勾股定理求出CF的长即为DP+CP的最小值．

解答：解：（1）∵∠B=90°，BC=4，BE=3，
根据勾股定理可得：CE=

BC2+BE2

=

42+32

=5；
（2）∵∠CED=90°，
∴∠CEB+∠DEA=90°，
∵∠B=90°，
∴∠CEB+∠ECB=90°，
∴∠DEA=∠ECB，
∵AD∥BC，∠B=90°，
∴∠A=∠B=90°，
在△ADE和△BEC中，

DEA=∠ECB   ∠A=∠B   AD=BE

∴△ADE≌△BEC（AAS）；
（3）延长DA至F，使得AD=AF，并连接CF，此时CF与AB的交点为点P，连接PD；
∵AB⊥AD，且AD=AF，
∴△DFP是等腰三角形，
∴DP=FP，
∴DP+CP的最小值为CF，
过点F作FH垂直CB的长线，垂足为H，如图所示：
根据题意得：CH=7，FH=7，
根据勾股定理可得，CF=

72+72

=7

2

，
即DP+CP的最小值为7

2

．

点评：本题考查了勾股定理、轴对称以及最短路线问题；熟练掌握勾股定理和最短路线的作图是解决问题的关键．