Question

【题目】如图，抛物线y=﹣x2﹣x+6与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．

（1）求点A、B的坐标；

（2）设点P是线段AC上一点，且S△ABP：S△BCP=1：3，求点P的坐标；

（3）若直线y=x+a与抛物线交于M、N两点，当∠MON为锐角时，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣3，0），B（2，0）；（2）P（﹣， ）；（3）a＜﹣3或＜a＜

【解析】试题分析：（1）将y=0代入y=-x2-x+6，得出-x2-x+6=0，解方程求得x1=-3，x2=2，即可得到点A、B的坐标；

（2）先由抛物线y=-x2-x+6与y轴交于点C，得出OC=6．根据同高的两个三角形面积比等于底边之比，得到，过P作PH⊥x轴，垂足为H，那么．由PH∥CO，根据平行线分线段成比例定理求得PH=，AH=，那么HO=，进而得到点P的坐标；

（3）设直线y=x+a与抛物线y=-x2-x+6交于M（x1，y1）、N（x2，y2）两点（M在N的左侧），由，得x2+x+a-6=0，根据一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2=-，x1x2=a-6，由y1=x1+a，y2=x2+a，得到y1y2=（x1+a）（x2+a）=-a+a2．当∠MON=90°时，由勾股定理得到OM2+O2=MN2，即=（x2-x1）2+（y2-y1）2，化简整理得出x1x2+y1y2=0，依此求出a=-3或a=．再求出抛物线与直线只有一个公共点时，a=．然后结合图形可知把直线y=x-3向下平移，∠MON是锐角；把直线y=x+向上平移，∠MON也是锐角，进而求出a的取值范围．

试题解析：（1）∵y=-x2-x+6，

∴y=0时，即-x2-x+6=0，解得x1=-3，x2=2，

∴A（-3，0），B（2，0）；

（2）令x=0，得y=6，即OC=6．

由于△ABP和△BCP的高相等，所以面积比等于底边之比，

即，

过P作PH⊥x轴，垂足为H， ．

∵PH∥CO，

∴，

∴PH=，AH=，

∴HO=，

∴P（-， ）；

（3）设直线y=x+a与抛物线y=-x2-x+6交于M（x1，y1）、N（x2，y2）两点（M在N的左侧），

由，得x2+x+a-6=0，

则x1+x2=-，x1x2=a-6，

∵y1=x1+a，y2=x2+a，

∴y1y2=（x1+a）（x2+a）

=x1x2+（x1+x2）a+a2

=-a+a2．

当∠MON=90°时，OM2+ON2=MN2，

即=（x2-x1）2+（y2-y1）2，

∴x1x2+y1y2=0，

∴a-6+-a+a2=0，即a2+a-=0，

∴a=-3或a=．

若抛物线与直线只有一个公共点，即方程x2+x+a-6=0有两个相等的实数根，

则△=b2-4ac=0，解得：a=．

把直线y=x-3向下平移，∠MON是锐角，此时a＜-3，

把直线y=x+向上平移，∠MON也是锐角，此时＜a＜．

综上所述，a的取值范围是a＜-3或＜a＜．