Question

如图，把正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45°得到正方形A′B′CD′（此时，点B′落在对角线AC上，点A′落在CD的延长线上），A′B′交AD于点E，连接AA′，CE．那么下面结论正确的是（　　）
①△ADA′≌△CDE；②直线CE是线段AA′的垂直平分线；③△AEA′是等腰三角形；④S_△DEA′=S_△B′EA．

• A、①②③
• B、①③④
• C、②③④
• D、①②③④

Answer 1

考点：旋转的性质

专题：

分析：根据正方形和旋转的性质得∠B′A′C=45°，∠ADC=90°，CB=CB′，CA=CA′，则可判断△A′DE为等腰直角三角形，于是可根据“SAS”证明△ADA′≌△CDE，则可对①进行判断；根据“HL”可证明t△CB′E≌Rt△CDE，得到∠B′CE=∠DCE，即CE平分∠B′CD，加上CA=CA′，所以根据等腰三角形的性质可得CE垂直平分AA′，则可对②进行判断；根据线段垂直平分线的性质得EA=EA′，则可对③进行判断；利用△DEA′和△B′EA都是等腰直角三角形，加上EA=EA′，可判断△DEA′≌△B′EA，于是可对④进行判断．

解答：解：∵正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45°得到正方形A′B′CD′（此时，点B′落在对角线AC上，点A′落在CD的延长线上），
∴∠B′A′C=45°，∠ADC=90°，CB=CB′，CA=CA′，
∴△A′DE为等腰直角三角形，
∴DA′=DE，
在△ADA′和△CDE中

DA′=DE ∠ADA′=∠CDE AD=CD

，
∴△ADA′≌△CDE（SAS），所以①正确；
∵CB′=CB=CD，
而CE=CE，
∴Rt△CB′E≌Rt△CDE，
∴∠B′CE=∠DCE，
即CE平分∠B′CD，
∵CA=CA′，
∴CE垂直平分AA′，所以②正确；
∴EA=EA′，
∴△AEA′是等腰三角形，所以③正确；
∵△DEA′和△B′EA都是等腰直角三角形，
而EA=EA′，
∴△DEA′≌△B′EA，
∴S_△DEA′=S_△B′EA，所以④正确．

点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了三角形全等的判定与性质和正方形的性质．