Question

17．如图，AB是⊙O的直径，C是$\widehat{AB}$的中点，连结AC并延长到点D，使AC=CD，E是OB的中点，连结CE并延长交DB于点F．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若AF交⊙O于点H，连接BH，OB=2，求BH的长．

Answer 1

分析 （1）连结OC，如图，根据垂径定理，由AB是⊙O的直径，C是$\widehat{AB}$的中点得到OC⊥AB，再证明OC为△ABD的中位线得到OC∥BD，所以BD⊥AB，然后根据切线的判定定理定理即可得到结论
（2）先证明△OCE∽△BFE，利用相似比可得BF=OC=2，再在Rt△ABF中根据勾股定理计算出AF═2$\sqrt{5}$，接着利用圆周角定理得到∠AHB=90°，然后利用面积法可求出BH的长．

解答 （1）证明：连结OC，如图，
∵AB是⊙O的直径，C是$\widehat{AB}$的中点，
∴OC⊥AB，
∵AC=CD，OA=OB，
∴OC为△ABD的中位线，
∴OC∥BD，
∴BD⊥AB，
∴BD是⊙O的切线；
（2）解：∵E是OB的中点，
∴OE=BE=1，
∵OC∥BF，
∴△OCE∽△BFE，
∴$\frac{OC}{BF}$=$\frac{OE}{BE}$，
∴BF=OC=2，
在Rt△ABF中，∵AB=4，BF=2，
∴AF=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵AB为直径，
∴∠AHB=90°，
∵$\frac{1}{2}$AF•BH=$\frac{1}{2}$AB•BF，
∴BH=$\frac{4×2}{2\sqrt{5}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了相似三角形的判定与性质．