Question

8．如图所示，⊙O内切于△ABC，若∠ACB=90°，∠AOC=105°，AB=$\frac{8}{3}$，求AC及S_△ABC．

Answer 1

分析 先根据⊙O内切于△ABC，得出∠BAO=∠CAO，∠ACO=∠BCO，再根据∠ACB=90°，得出∠BCO=45°，再根据三角形内角和定理得出∠OAC的度数，从而求出∠ABC和∠A的度数，即可求出AC的长，再根据勾股定理即可求出CB的长，最后利用三角形的面积公式计算即可．

解答 解：∵⊙O内切于△ABC，
∴∠BAO=∠CAO，∠ACO=∠BCO．
∵∠ACB=90°，
∴∠OCA=45°．
∵∠BOC=105°，
∴∠OCA=180°-45°-105°=30°，
∴∠BAC=60°．
∴∠B=30°．
∴AC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}×\frac{8}{3}$=$\frac{4}{3}$．
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}AC•BC$=$\frac{1}{2}×\frac{4}{3}×\frac{4\sqrt{3}}{3}$=$\frac{8\sqrt{3}}{9}$．

点评 此题考查了三角形的内切圆与内心，关键是根据三角形的内心的性质和内角和定理求出∠B=30°．