【题目】如图,AB=4,C为射线BA上一动点,以BC为边向上作正三角形BCD,⊙O过A、C、D三点,E为⊙O上一点,满足AD=ED,直线CE交直线AD于F.
(1)求证:CE∥BD;
(2)设CF=a,若C在线段AB上运动.
①求点E运动的路径长;
②求a的范围;
(3)若AC=1,求 tan∠DEC.
【答案】(1)证明见解析;(2)①4;②0≤a≤1;(3)或;
【解析】
(1)连接AE,证△ADE为等边三角形即可得到∠ECD=∠CDB=60°,则有CE∥BD.
(2) ①首先分析E点的运动轨迹是在于AB平行且距离为2的直线上,再进行计算;
②设CB的长为x(0<x<4),通过证明,得到用含x的式子表示a,从而求出a的取值范围.
(3)分两种情况讨论:点C在线段AB上和在A点的左边两种情况分别进行计算求解.
解:(1)连接AE
∵三角形BCD是等边三角形,
∴∠B=∠BCD=∠BDC=60°.
∵四边形ACDE是圆O的内接四边形,
∴∠AED+∠ACD=180°.
又∵∠ACD+∠BCD=180°,
∴∠AED=∠BCD=60°.
∵AD=AE,
∴三角形ADE是等边三角形.
∴∠EAD=60°,
∴∠EAD=∠ECD=∠CDB=60°.
∴CE∥BD;
(2) ①∵∠EDA=∠CDB=60°,
∴∠EDA+∠ADC=∠CDB+∠ADC,即∠EDC=∠ADB.
又∵ED=AD,CD=DB,
∴.
∴EC=AB=4.
过点E作EG⊥AB于点G,在直角三角形CFE中,∠ECA=60°,∴EG=EC=2
∴点E的运动轨迹为于AB平行且距离为2的直线上.
所以点C在A时,得到点E1, 点C在B时,得到点E2,∴四边形E1ACE2是平行四边形,
所以E1E2=AB=4.
∴E的运动路径长为4.
②设CB的长为x(0<x<4),则AC=4-x,BD=CB=x.
∵CE∥BD,
∴
∴=,∴=.
∴a=-+x=-(x-2)2+1.
当x=2时,a有最大值为1;
当x=0时,a有最小值0.
∴0≤a≤1.
(3)当C在AB之间时,过点D作DH⊥AB与点H,则AC=1,BC=BD=3.
∴BH=BC=,DH=BD=.
∴AH=AB-BH=.
∴tan∠DEC=tan∠DAH==.
当C在A的左边时,同理可以求得tan∠DEC=tan∠DAH=.
∴tan∠DEC的值为或;
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【题目】定义:两个相似等腰三角形,如果它们的底角有一个公共的顶点,那么把这两个三角形称为“关联等腰三角形”.如图,在与中, ,且所以称与为“关联等腰三角形”,设它们的顶角为,连接,则称会为“关联比".
下面是小颖探究“关联比”与α之间的关系的思维过程,请阅读后,解答下列问题:
[特例感知]
当与为“关联等腰三角形”,且时,
①在图1中,若点落在上,则“关联比”=
②在图2中,探究与的关系,并求出“关联比”的值.
[类比探究]
如图3,
①当与为“关联等腰三角形”,且时,“关联比”=
②猜想:当与为“关联等腰三角形”,且时,“关联比”= (直接写出结果,用含的式子表示)
[迁移运用]
如图4, 与为“关联等腰三角形”.若点为边上一点,且,点为上一动点,求点自点运动至点时,点所经过的路径长.
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【题目】书法是我国的文化瑰宝,研习书法能培养高雅的品格某校为加强书法教学,了解学生现有的书写能力,随机抽取了部分学生进行测试,测试结果分为优秀、良好、及格、不及格四个等级,分别用,,,表示,并将测试结果绘制成如下两幅不完整的统计图.
书写能力等级测试条形统计图:
书写能力等级测试扇形统计图:
请根据统计图中的信息解答以下问题:
(1)本次抽取的学生共有______人,扇形统计图中所对应扇形的圆心角是_______;
(2)把条形统计图补充完整;
(3)依次将优秀、良好、及格、不及格记为分、分、分、分,则抽取的这部分学生书写成绩的众数是_______,中位数是_______,平均数是________;
(4)若该校共有学生人,请估计一下,书写能力等级达到优秀的学生大约有多少人?
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【题目】今年2﹣4月某市出现了200名新冠肺炎患者,市委根据党中央的决定,对患者进行了免费治疗.图1是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图(不完整),图2是这三类患者的人均治疗费用统计图.请回答下列问题.
(1)轻症患者的人数是多少?
(2)该市为治疗危重症患者共花费多少万元?
(3)所有患者的平均治疗费用是多少万元?
(4)由于部分轻症患者康复出院,为减少病房拥挤,拟对某病房中的A、B、C、D、E五位患者任选两位转入另一病房,请用树状图法或列表法求出恰好选中B、D两位患者的概率.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,抛物线y = x2 – 2 m x – 2m – 2与直线y =-x-2 交于C,D两点,将抛物线在C、D两点之间的部分(不含C、D)上恰有两个点的横坐标为整数,则m的取值范围为______.
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【题目】如图,直线上有点、、、、,且,,,,分别过点、、、、作直线的垂线,交轴于点、、、、,依次连接、、、、,得到,,,,,则的面积为_______.(用含有正整数的式子表示)
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【题目】某校在一次大课间活动中,采用了四钟活动形式:A、跑步,B、跳绳,C、做操,D、游戏.全校学生都选择了一种形式参与活动,小杰对同学们选用的活动形式进行了随机抽样调查,根据调查统计结果,绘制了不完整的统计图.
请结合统计图,回答下列问题:
(1)本次调查学生共 人, = ,并将条形图补充完整;
(2)如果该校有学生2000人,请你估计该校选择“跑步”这种活动的学生约有多少人?
(3)学校让每班在A、B、C、D四钟活动形式中,随机抽取两种开展活动,请用树状图或列表的方法,求每班抽取的两种形式恰好是“跑步”和“跳绳”的概率.
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【题目】如图1是一把折叠椅子,图2是椅子完全打开支稳后的侧面示意图,表示地面所在的直线,其中和表示两根较粗的钢管,表示座板平面,,交于点,且,长,,,长,长,
(1)求座板的长;
(2)求此时椅子的最大高度(即点到直线的距离).(结果保留根号)
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【题目】宏兴企业接到一批产品的生产任务,按要求必须在14天内完成.已知每件产品的出厂价为60元.工人甲第x天生产的产品数量为y件,y与x满足如下关系: .
(1)工人甲第几天生产的产品数量为70件?
(2)设第x天生产的产品成本为P元/件,P与x的函数图象如图.工人甲第x天创造的利润为W元,求W与x的函数关系式,并求出第几天时,利润最大,最大利润是多少?
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