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【题目】如图,AB4C为射线BA上一动点,以BC为边向上作正三角形BCD,⊙OACD三点,E为⊙O上一点,满足ADED,直线CE交直线ADF

1)求证:CEBD

2)设CF=a,若C在线段AB上运动.

①求点E运动的路径长;

②求a的范围;

3)若AC1,求 tanDEC

【答案】1)证明见解析;(2)①4;②0≤a≤1;(3

【解析】

1)连接AE,证ADE为等边三角形即可得到∠ECD=CDB=60°,则有CEBD.

(2) ①首先分析E点的运动轨迹是在于AB平行且距离为2的直线上,再进行计算;

②设CB的长为x(0<x<4),通过证明,得到用含x的式子表示a,从而求出a的取值范围.

(3)分两种情况讨论:点C在线段AB上和在A点的左边两种情况分别进行计算求解.

解:(1)连接AE

∵三角形BCD是等边三角形,

∴∠B=BCD=BDC=60°.

∵四边形ACDE是圆O的内接四边形,

∴∠AED+ACD=180°.

又∵∠ACD+BCD=180°,

∴∠AED=BCD=60°.

AD=AE

∴三角形ADE是等边三角形.

∴∠EAD=60°,

∴∠EAD=ECD=CDB=60°.

CEBD;

(2) ①∵∠EDA=∠CDB=60°

∠EDA+∠ADC=∠CDB+∠ADC,即∠EDC=∠ADB.

又∵ED=AD,CD=DB,

.

EC=AB=4.

过点EEG⊥AB于点G,在直角三角形CFE中,∠ECA=60°,EG=EC=2

∴点E的运动轨迹为于AB平行且距离为2的直线上.

所以点CA时,得到点E1, 点CB时,得到点E2,∴四边形E1ACE2是平行四边形,

所以E1E2=AB=4.

∴E的运动路径长为4.

②设CB的长为x(0<x<4),则AC=4-x,BD=CB=x.

CEBD

=,∴=.

∴a=-+x=-(x-2)2+1.

当x=2时,a有最大值为1;

当x=0时,a有最小值0.

0≤a≤1.

(3)当CAB之间时,过点DDH⊥AB与点H,则AC=1,BC=BD=3.

∴BH=BC=,DH=BD=.

AH=AB-BH=.

tan∠DEC=tan∠DAH==.

当C在A的左边时,同理可以求得tan∠DEC=tan∠DAH=.

tanDEC的值为

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[类比探究]

如图3

①当关联等腰三角形,且时,关联比=

②猜想:当关联等腰三角形,且时,关联比= (直接写出结果,用含的式子表示)

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