Question

数学课上，探讨角平分线的作法时，小明发现只利用直角三角板也可以作角平分线，操作如下：
①先让三角板的直角边BC落在OM上，使顶点A恰好落在ON上；
②按上述操作，再将该三角板放置到如图所示的△A′B′C′的位置，B′C′落在ON上，顶点A′落在OM上，AC与A′C′交于点P；
③作射线OP，则OP就是∠MON的平分线．
（1）小明在推证其作法正确性的过程中，仅得出△OAC≌△OA′C′，则这两个三角形全等的依据是

 

；
（2）在（1）的基础上，请你帮助小明继续完成证明过程．

Answer 1

考点：作图—基本作图,全等三角形的判定

专题：

分析：（1）在△OAC与△OA′C′中，满足∠AOC=∠A′OC，∠ACO=∠A′C′O=90°，AC=A′C′，根据AAS可得△OAC≌△OA′C′；
（2）由△OAC≌△OA′C′可得OC=OC′，再利用HL证明Rt△OCP≌△OC′P，那么∠COP=∠C′OP．

解答：证明：（1）在△OAC与△OA′C′中，

∠AOC=∠A′OC ∠ACO=∠A′C′O=90° AC=A′C′

，
∴△OAC≌△OA′C′（AAS）．
故答案为AAS；

（2）∵△OAC≌△OA′C′，
∴OC=OC′．
在Rt△OCP与△OC′P中，

OP=OP OC=OC′

，
∴Rt△OCP≌△OC′P（HL），
∴∠COP=∠C′OP，
即OP平分∠MON．

点评：本题考查了利用直角三角板作角平分线的方法，全等三角形的判定与性质，难度不大．