如图.已知l1⊥l2.⊙O与l1.l2都相切.⊙O的半径为1cm.矩形ABCD的边AD.AB分别与l1.l2重合.AB=23cm.AD=2cm.若⊙O与矩形ABCD沿l1同时向右移动.⊙O的移动速度为2cm/s.矩形ABCD的移动速度为3cm/s.设移动时间为t(s)(1)如图①.连接OA.AC.则∠OAC的度数为 °,(2)如图②.两个图形移动一段时间后.⊙O到达⊙O1� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，已知l₁⊥l₂，⊙O与l₁，l₂都相切，⊙O的半径为1cm，矩形ABCD的边AD、AB分别与l₁，l₂重合，AB=2

cm，AD=2cm，若⊙O与矩形ABCD沿l₁同时向右移动，⊙O的移动速度为2cm/s，矩形ABCD的移动速度为3cm/s，设移动时间为t（s）

（1）如图①，连接OA、AC，则∠OAC的度数为

°；
（2）如图②，两个图形移动一段时间后，⊙O到达⊙O₁的位置，矩形ABCD到达A₁B₁C₁D₁的位置，此时点O₁，A₁，C₁恰好在同一直线上，求圆心O移动的距离（即OO₁的长）；
（3）在移动过程中，圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为d（cm），当d＜1时，求t的取值范围（解答时可以利用备用图画出相关示意图）．

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）利用切线的性质以及锐角三角函数关系分别求出∠OAD=45°，∠DAC=60°，进而得出答案；
（2）首先得出，∠C₁A₁D₁=60°，再利用A₁E=AA₁-OO₁-1=t-1，求出t的值，进而得出OO₁=2t得出答案即可；
（3）①当直线AC与⊙O第一次相切时，设移动时间为t₁，②当直线AC与⊙O第二次相切时，设移动时间为t₂，分别求出即可．

解答：解：（1）∵l₁⊥l₂，⊙O与l₁，l₂都相切，
∴∠OAD=45°，
∵AB=2

cm，AD=2cm，
∴CD=2

cm，
∴tan∠DAC=

，
∴∠DAC=60°，
∴∠OAC的度数为：∠OAD+∠DAC=105°，
故答案为：105；

（2）如图位置二，当O₁，A₁，C₁恰好在同一直线上时，设⊙O₁与l₁的切点为E，
连接O₁E，可得O₁E=1，O₁E⊥l₁，
在Rt△A₁D₁C₁中，∵A₁D₁=2

cm，C₁D₁=2cm，
∴tan∠C₁A₁D₁=

，∴∠C₁A₁D₁=60°，

在Rt△A₁O₁E中，∠O₁A₁E=∠C₁A₁D₁=60°，
∴A₁E=

tan60°

，
∵A₁E=AA₁-OO₁-1=t-1，
∴t-1=

，
∴t=

+1，
∴OO₁=2t=

+2；

（3）①当直线AC与⊙O第一次相切时，设移动时间为t₁，
如图，此时⊙O移动到⊙O₂的位置，矩形ABCD移动到A₂B₂C₂D₂的位置，
设⊙O₂与直线l₁，A₂C₂分别相切于点F，G，连接O₂F，O₂G，O₂A₂，
∴O₂F⊥l₁，O₂G⊥A₂C₂，
由（2）得，∠C₂A₂D₂=60°，
∴∠GA₂F=120°，
∴∠O₂A₂F=60°，
在Rt△A₂O₂F中，O₂F=1，∴A₂F=

，
∵OO₂=2t₁，AF=AA₂+A₂F=t₁+

，
∴2t₁+

-t₁=1，
∴t₁=1-

，
②当直线AC与⊙O第二次相切时，设移动时间为t₂，
记第一次相切时为位置一，点O₁，A₁，C₁共线时位置二，第二次相切时为位置三，
由题意知，从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等，
∴

+1-（1-

）=t₂-（

+1），
解得：t₂=

+1，
综上所述，当d＜1时，t的取值范围是：1-

＜t＜

+1．

点评：此题主要考查了切线的性质、切线长定理、锐角三角函数、矩形的性质等知识以及分类讨论的数学思想，其中利用一条线段的两种表示方法建立关于t的方程是解决第（2）小题与第（3）小题的关键．

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