Question

如图，在⊙O中，弦AB=CD，AB⊥CD，垂足为G，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F，连接OG，OB．
（1）求证：四边形OEGF是正方形；
（2）若OB=5cm，OG=3

2

cm，求AB的长．

Answer 1

考点：垂径定理,勾股定理

专题：

分析：（1）先根据AB=CD，OE⊥AB，OF⊥CD可知OE=OF，∠OEG=∠OFG，再由AB⊥CD可知∠EGF=90°，故可得出结论；
（2）由（1）知四边形OEGF是正方形，故OE=GE，再由OG=3

2

cm可得出OE的长，根据勾股定理求出BE的长，进而可得出结论．

解答：（1）证明：∵AB=CD，OE⊥AB，OF⊥CD，
∴OE=OF，∠OEG=∠OFG=90°，
∵AB⊥CD，
∴∠EGF=90°，
∴四边形OEGF是正方形；

（2）解：∵由（1）知四边形OEGF是正方形，
∴OE=GE，
∵OG=3

2

cm，
∴2OE²=OG²，即2OE²=（3

2

）²，解得OE=3cm．
在Rt△OBE中，BE=

OB2-OE2

=

52-32

=4cm，
∴AB=2BE=8cm．

点评：本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．