Question

【题目】如图1，点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点。某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线。

（1）研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是△ABC的黄金分割线。你认为对吗？为什么？

（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？

（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连接EF（如图3），则直线EF也是△ABC的黄金分割线。请说明理由。

（4）如图4，点E是平行四边形ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EF∥AD，交DC于点F，显然直线EF是平行四边形ABCD的黄金分割线，请你画一条平行四边形ABCD的黄金分割线，使它不经过平行四边形ABCD各边黄金分割点．

Answer 1

【答案】（1）直线CD是△ABC的黄金分割线．理由见解析；（2）三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线．理由见解析；（3）理由见解析；（4）作图见解析.

【解析】试题分析：（1）若点D为AB边上的黄金分割点，则有．如果设△ABC的边AB上的高为h，根据三角形的面积公式，易得， ，即有，根据图形的黄金分割线的定义即可判断；

（2）由于等底同高的两个三角形的面积相等，所以三角形任意一边上的中线都将三角形分成面积相等的两部分，即有s1＝s2＝s，则，从而可知三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线；

（3）由于直线CD是△ABC的黄金分割线，所以．要想说明直线EF也是△ABC的黄金分割线，只需证明，即证S△ADC=S△AEF，S△BDC=S四边形BEFC即可．因为DF∥CE，所以△DFC和△DFE的公共边DF上的高也相等，所以有S△DFC=S△DFE，所以S△ADC=S△ADF+S△DFC=S△ADF+S△DFE=S△AEF，S△BDC=S四边形BEFC．

（4）根据黄金分割线的定义即可作出．本题答案不唯一，作法有无数种．

试题解析：（1）直线CD是△ABC的黄金分割线．理由如下：

设△ABC的边AB上的高为h．

则S△ADC＝ADh，S△BDC＝BDh，S△ABC＝ABh，

∴， ，

又∵点D为边AB的黄金分割点，

∴，

∴．

故直线CD是△ABC的黄金分割线．

（2）∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，

∴s1＝s2＝s，则，

故三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线．

（3）∵DF∥CE，

∴△DFC和△DFE的公共边DF上的高也相等，

∴S△DFC=S△DFE，

∴S△ADC=S△ADF+S△DFC=S△ADF+S△DFE=S△AEF，S△BDC=S四边形BEFC．

又∵．，

∴．

因此，直线EF也是△ABC的黄金分割线．

（4）画法不惟一，现提供两种画法；

画法一：如答图1，取EF的中点G，再过点G作一条直线分别交AB，DC于M，N点，则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线．

画法二：如答图2，在DF上取一点N，连接EN，再过点F作FM∥NE交AB于点M，连接MN，则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线．