Question

【题目】已知：四边形ABCD是菱形，AB＝4，∠ABC＝60°，有一足够大的含60°角的直角三角尺的60°角的顶点与菱形ABCD的顶点A重合，两边分别射线CB、DC相交于点E、F，且∠EAP＝60°．

（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，请直接判断△AEF的形状是　 　．

（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE＝CF；

（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB＝15°时，求点F到BC的距离．

Answer 1

【答案】（1）△AEF是等边三角形，理由见解析；（2）见解析；（3）点F到BC的距离为3﹣．

【解析】

（1）连接AC，证明△ABC是等边三角形，得出AC＝AB，再证明△BAE≌△DAF，得出AE＝AF，即可得出结论；

（2）连接AC，同（1）得：△ABC是等边三角形，得出∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC，再证明△BAE≌△CAF，即可得出结论；

（3）同（1）得：△ABC和△ACD是等边三角形，得出AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝∠ACD＝60°，证明△BAE≌△CAF，得出BE＝CF，AE＝AF，证出△AEF是等边三角形，得出∠AEF＝60°，证出∠AEB＝45°，得出∠CEF＝∠AEF﹣∠AEB＝15°，作FH⊥BC于H，在△CEF内部作∠EFG＝∠CEF＝15°，则GE＝GF，∠FGH＝30°，由直角三角形的性质得出FG＝2FH，GH＝FH，CF＝2CH，FH＝CH，设CH＝x，则BE＝CF＝2x，FH＝x，GE＝GF＝2FH＝2x，GH＝FH＝3x，得出EH＝4+x＝2x+3x，解得：x＝﹣1，求出FH＝x＝3﹣即可．

（1）解：△AEF是等边三角形，理由如下：

连接AC，如图1所示：

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝BC＝AD，∠B＝∠D，

∵∠ABC＝60°，

∴∠BAD＝120°，△ABC是等边三角形，

∴AC＝AB，

∵点E是线段CB的中点，

∴AE⊥BC，

∴∠BAE＝30°，

∵∠EAF＝60°，

∴∠DAF＝120°﹣30°﹣60°＝30°＝∠BAE，

在△BAE和△DAF中，

，

∴△BAE≌△DAF（ASA），

∴AE＝AF，

又∵∠EAF＝60°，

∴△AEF是等边三角形；

故答案为：等边三角形；

（2）证明：连接AC，如图2所示：

同（1）得：△ABC是等边三角形，

∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC，

∵∠EAF＝60°，

∴∠BAE＝∠CAF，

∵∠BCD＝∠BAD＝120°，

∴∠ACF＝60°＝∠B，

在△BAE和△CAF中，

，

∴△BAE≌△CAF（ASA），

∴BE＝CF；

（3）解：同（1）得：△ABC和△ACD是等边三角形，

∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝∠ACD＝60°，

∴∠ACF＝120°，

∵∠ABC＝60°，

∴∠ABE＝120°＝∠ACF，

∵∠EAF＝60°，

∴∠BAE＝∠CAF，

在△BAE和△CAF中，

，

∴△BAE≌△CAF（ASA），

∴BE＝CF，AE＝AF，

∵∠EAF＝60°，

∴△AEF是等边三角形，

∴∠AEF＝60°，

∵∠EAB＝15°，∠ABC＝∠AEB+∠EAB＝60°，

∴∠AEB＝45°，

∴∠CEF＝∠AEF﹣∠AEB＝15°，

作FH⊥BC于H，在△CEF内部作∠EFG＝∠CEF＝15°，如图3所示：

则GE＝GF，∠FGH＝30°，

∴FG＝2FH，GH＝FH，

∵∠FCH＝∠ACF﹣∠ACB＝60°，

∴∠CFH＝30°，

∴CF＝2CH，FH＝CH，

设CH＝x，则BE＝CF＝2x，FH＝x，GE＝GF＝2FH＝2x，GH＝FH＝3x，

∵BC＝AB＝4，

∴CE＝BC+BE＝4+2x，

∴EH＝4+x＝2x+3x，

解得：x＝﹣1，

∴FH＝x＝3﹣，

即点F到BC的距离为3﹣．