Question

15．如图，将两块直角三角形的一条直角边重合叠放，已知AC=BC=$\sqrt{3}$+1，∠D=60°，则两条斜边的交点E到直角边BC的距离是1．

Answer 1

分析 过点E作EH⊥BC，垂足为H，根据AC=BC=$\sqrt{3}$+1，∠D=60°，得∠BCD=30°，求得BD，可证明△BDE∽△ACE，得$\frac{BD}{AC}$=$\frac{BE}{AE}$，从而得出BE和AE，再由∠ACB=90°，得△BHE∽△BCA，$\frac{EH}{AC}$=$\frac{AE}{AB}$，从而得出EH即可．

解答 解：∵∠CBD=90°，∠D=60°，
∴∠BCD=30°，
∴∠ACE=60°，
∵AC=BC=$\sqrt{3}$+1，
∴BD=$\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}$，AB=$\sqrt{2}$（$\sqrt{3}$+1），
∵∠AEC=∠BED，
∴△BDE∽△ACE，
∴$\frac{BD}{AC}$=$\frac{BE}{AE}$，
∴$\frac{\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}}{\sqrt{3}+1}$=$\frac{BE}{\sqrt{2}（\sqrt{3}+1）-BE}$，
∴BE=$\sqrt{2}$，AE=$\sqrt{6}$，
∵∠ACB=90°，
∴△BHE∽△BCA，
∴$\frac{EH}{AC}$=$\frac{AE}{AB}$，
∴$\frac{EH}{\sqrt{3}+1}$=$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}（\sqrt{3}+1）}$，
∴EH=1，
故答案为1．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，以及角平分线的性质、勾股定理，是一道综合性的题目，中考的常见题型，难度不大．