Question

如图1，已知△ABC，分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE，连接DC与BE．
（1）求证：△DAC≌△BAE；
（2）F、H分别是BE与DC的中点；
①如图2．当∠DAB=∠CAE=90°时，求∠AFH的度数；
②请探究当∠DAB等于多少度时，AF=FH？请说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）求出∠DAC=∠BAE，然后利用“边角边”证明即可；
（2）①连接AH，根据全等三角形对应角相等可得∠AEB=∠ACD，全等三角形对应边相等可得BE=CD，然后求出EF=CH，再利用“边角边”证明△ACH和△AEF全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=AH，全等三角形对应角相等可得∠EAF=∠CAH，然后求出∠FAH=∠CAE，再根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解；
②判断出△AFH是等边三角形，然后根据等边三角形的三个角都是60°求解即可．

解答：（1）证明：∵∠DAB=∠CAE，
∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC，
即∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，

AD=AB ∠DAC=∠BAE AC=AE

，
∴△DAC≌△BAE（SAS）；

（2）解：①如图，连接AH，
∵△DAC≌△BAE，
∴∠AEB=∠ACD，BE=CD，
∵F、H分别是BE与DC的中点，
∴EF=

1

2

BE，CH=

1

2

CD，
∴EF=CH，
在△ACH和△AEF中，

AE=AC ∠AEB=∠ACD EF=CH

，
∴△ACH≌△AEF（SAS），
∴AF=AH，∠EAF=∠CAH，
∴∠FAH=∠CAE，
∵∠DAB=∠CAE=90°，
∴∠AFH=

1

2

（180°-90°）=45°；
②由①可知，AF=AH，∠FAH=∠CAE=∠DAB，
∵AF=FH，
∴AF=AH=FH，
∴△AFH是等边三角形，
∴∠FAH=60°，
∴∠DAB=60°．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形两底角相等的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判断方法并准确识图是解题的关键．