Question

如图①，在平面直角坐标系中，直线y=-

2

4

x+

2

2

与x轴交于C点，与y轴交于点E，点A在x轴的负半轴，以A点为圆心，AO为半径的圆与直线的CE相切于点F，交x轴负半轴于另一点B．

（1）求⊙A的半径；
（2）连BF、AE，则BF与AE之间有什么位置关系？写出结论并证明．
（3）如图②，以AC为直径作⊙O1交y轴于M，N两点，点P是弧MC上任意一点，点Q是弧PM的中点，连CP，NQ，延长CP，NQ交于D点，求CD的长．

Answer 1

考点：圆的综合题,平行线的判定,全等三角形的判定与性质,勾股定理

专题：综合题

分析：（1）连接AF，如图①a，由直线EC的解析式可求出OE、OC的长，根据勾股定理可求出EC的长，然后根据切线长定理可求出EF的长，然后在Rt△AFC中运用勾股定理就可求出圆的半径．
（2）连接OF，交AE于点H，如图①b，根据切线长定理可得EF=EO，EA平分∠FEO，根据等腰三角形的性质可得∠AHO=90°，由BO是⊙A的直径可得∠BFO=90°，从而得到∠BFO=∠AHO，即可得到BF∥AE．
（3）连接QC、QM、MC、NC、MO₁，如图②，易证△MCQ≌△DCQ，则有MC=DC．在Rt△MOO₁中，运用勾股定理可求出MO的长，然后在Rt△MOC中，运用勾股定理就可求出MC，即可得到CD的长．

解答：解：（1）连接AF，如图①a．

∵直线y=-

2

4

x+

2

2

与x轴交于C点，与y轴交于E点，
∴点C的坐标为（2，0），点E的坐标为（0，

2

2

），
∴OC=2，OE=

2

2

．
∵∠EOC=90°，
∴EC=

OE2+OC2

=

3 2

2

．
∵AO⊥OE，∴直线OE与⊙A相切于点O．
又∵直线CE与⊙A相切于点F，
∴∠AFC=90°，EF=OE=

2

2

，
∴FC=FE+EC=

2

2

+

3 2

2

=2

2

．
在Rt△AFC中，
设AF=x，则AO=x，AC=x+2．
根据勾股定理可得：x²+（2

2

）²=（x+2）²，
解得：x=1．
∴⊙A的半径为1．

（2）BF∥AE．
证明：连接OF，交AE于点H，如图①b．

∵EF、EO分别与⊙A相切于点F、O，
∴EF=EO，EA平分∠FEO，
∴EA⊥OF，即∠AHO=90°．
∵BO是⊙A的直径，
∴∠BFO=90°，
∴∠BFO=∠AHO，
∴BF∥AE．

（3）连接QC、QM、MC、NC、MO₁，如图②．

∵AC是⊙O₁的直径，AC⊥MN，
∴

NC

=

MC

，
∴∠NQC=∠MNC．
∵∠MQC+∠MNC=180°，∠DQC+∠NQC=180°，
∴∠MQC=∠DQC．
∵点Q是

MP

的中点，
∴∠MCQ=∠PCQ．
在△MCQ和△DCQ中，

∠MQC=∠DQC QC=QC ∠MCQ=∠DCQ

，
∴△MCQ≌△DCQ（ASA），
∴MC=DC．
∵OA=1，OC=2，
∴AC=3，AO₁=

3

2

，OO₁=

1

2

，
在Rt△MOO₁中，
MO₁=AO₁=

3

2

，OO₁=

1

2

，
∴MO=

MO12-OO12

=

2

．
在Rt△MOC中，
MC=

MO2+OC2

=

6

，
∴DC=

6

．
∴CD的长为

6

．

点评：本题考查了圆周角定理、切线长定理、切线的性质、圆内接四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定、勾股定理等知识，而通过证明△MCQ≌△DCQ得到MC=DC是解决第（3）小题的关键．