Question

12．△ABC中AD、BE是三角形的高，交点为F，AD=BD．
（1）求证：AF+CD=BD；
（2）连接DE，过点D作GH⊥DE交BE于G，交AC的延长线于H．AF=1，CD=3，AC=5，S_△ADE：S_△EDC=4：21，求△GEH的面积．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件得到∠ADB=∠ADC=∠BEC=90°，由余角的性质得到∠DBF=∠DAC，推出△BDF≌△ADC，根据全等三角形的性质得到DF=CD，等量代换即可得到结论；
（2）根据S_△ADE：S_△EDC=4：21，于是得到AE：CE=4：21，求得AE=$\frac{4}{5}$，CE=$\frac{21}{5}$，根据勾股定理得到EF=$\sqrt{A{F}^{2}-A{E}^{2}}$=$\frac{3}{5}$，由余角的性质得到∠FDE=∠HDC，推出△DEF≌△CDH，根据全等三角形的性质得到CH=EF=$\frac{3}{5}$，DE=DH，根据使用直角三角形的判定得到∠DEH=∠H=45°，即可得到结论．

解答 （1）证明：∵AD、BE是三角形的高，
∴∠ADB=∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠DBF+∠C=∠C+∠DAC=90°，
∴∠DBF=∠DAC，
在△BDF与△ADC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BDF=∠ADC}\\{BD=AD}\\{∠DBF=∠DAC}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△ADC，
∴DF=CD，
∵BD=AD=AF+DF，
∴BD=AF+CD；

（2）解：∵S_△ADE：S_△EDC=4：21，
∴AE：CE=4：21，
∵AC=5，
∴AE=$\frac{4}{5}$，CE=$\frac{21}{5}$，
∵BE⊥AC，
∴EF=$\sqrt{A{F}^{2}-A{E}^{2}}$=$\frac{3}{5}$，
∵AD⊥BC，DE⊥GH，
∴∠ADC=∠EDH=90°，
∴∠FDE=∠HDC，∵∠GED+∠DEH=∠DEH+∠H=90°，
∴∠FED=∠H，
由（1）知，CD=DF，
在△EFD与△CDH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EDF=∠CDH}\\{∠FED=∠H}\\{DF=CD}\end{array}\right.$，
∴△DEF≌△CDH，
∴CH=EF=$\frac{3}{5}$，DE=DH，
∴∠DEH=∠H=45°，
∴∠EGH=45°，
∵EH=CE+CH=$\frac{24}{5}$，
∴△GEH的面积=$\frac{1}{2}$×（$\frac{24}{5}$）²=$\frac{288}{25}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．