Question

阅读材料：
如果x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0的两根，那么有x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．
这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题：
设x₁，x₂是方程x²+6x-3=0的两根，求x

21

+x

22

的值．
解法可以这样：∵x₁+x₂=-6，x₁x₂=-3，则x

21

+x

22

=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（-6）²-2×（-3）=42．
请你根据以上解法解答下题：
已知x₁，x₂是方程x²-4x+2=0的两根，求：
（1）

1

x1

+

1

x2

的值；
（2）（x₁-x₂）²的值；
（3）x₁²+4x₂的值．

Answer 1

考点：根与系数的关系

专题：阅读型

分析：根据根与系数的关系得到x₁+x₂=4，x₁x₂=2，
（1）先通分得到原式=

x1+x2

x1x2

，然后利用整体代入的方法计算；
（2）先利用完全平方公式得到原式=（x₁+x₂）²-4x₁x₂，然后利用整体代入的方法计算；
（3）先根据一元二次方程得解的定义得到x₁²=4x₁-2，则原式=4（x₁+x₂）-2，然后利用整体代入的方法计算．

解答：解：x₁+x₂=4，x₁x₂=2，
（1）原式=

x1+x2

x1x2

=

4

2

=2；
（2）原式=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4²-4×2=8；
（3）∵x₁是方程x²-4x+2=0的根，
∴x₁²-4x₁+2=0，即x₁²=4x₁-2，
∴原式=4x₁-2+4x₂
=4（x₁+x₂）-2
=4×4-2
=14．

点评：本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．也考查了一元二次方程的解．