【题目】如图(1),抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A,B两点,交y轴于点C.直线y=x+5经过点A,C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图(2),若过点B的直线交直线AC于点M.
①当BM⊥AC时,过抛物线上一动点P(不与点B,C重合),作直线BM的平行线交AC于点Q,若以点B,M,Q,P为顶点的四边形是平行四边形,求点P的横坐标;
②连结BC,当直线BM与直线AC的夹角等于∠ACB的2倍时,请直接写出点M的坐标.
【答案】(1)y=x2+6x+5;(2)①点P的横坐标为﹣4,或;②点M的坐标为(,)或(,)
【解析】
(1)利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A,C的坐标,由点A,C的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式;
(2)利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标;
①分四边形BMQP为平行四边形和四边形BMPQ为平行四边形两种情况考虑:(i)当四边形BMQP为平行四边形时,过点B作BP1∥AC,交抛物线于点P1,由直线AC的解析式结合点B的坐标可得出直线BP1的解析式,联立直线BP1和抛物线的解析式成方程组,通过解方程组可得出点P1的横坐标;(ii)当四边形BMPQ为平行四边形时,过点A作AD∥y轴,交直线BM于点D,易求点D的坐标为(﹣5,4),过点D作直线P2P3∥AC,交抛物线于点P2,P3,由直线AC的解析式结合点D的坐标可得出直线P2P3的解析式,联立直线P2P3和抛物线的解析式成方程组,通过解方程组可求出点P2,P3的横坐标;
②作BC的垂直平分线l,垂足为E,交AC于点M1,作BN⊥AC于点N,作点M1关于点N的对称点M2,M1,M2符合条件,由点B,C的坐标可求出直线BC的解析式及点E的坐标,结合直线l⊥BC可求出直线l的解析式,联立直线l和直线AC的解析式成方程组,通过解方程组可求出点M1的坐标;由直线AC的解析式、点B的坐标及BN⊥AC可求出直线ON的解析式,联立直线ON和直线AC的解析式成方程组,通过解方程组可求出点N的坐标,再结合点N为线段M1M2的中点可求出点M2的坐标.
(1)当x=0时,y=x+5=5,
∴点C的坐标为(0,5);
当y=0时,x+5=0,
解得:x=﹣5,
∴点A的坐标为(﹣5,0).
将A(﹣5,0),C(0,5)代入y=ax2+6x+c,得:
,解得:,
∴抛物线的解析式为y=x2+6x+5.
(2)当y=0时,x2+6x+5=0,
解得:x1=﹣5,x2=﹣1,
∴点B的坐标为(﹣1,0).
①∵PQ∥BM,
∴分两种情况考虑,如图1所示:
(i)当四边形BMQP为平行四边形时,过点B作BP1∥AC,交抛物线于点P1.
∵直线AC的解析式为y=x+5,
∴设直线BP1的解析式为y=x+b,
将B(﹣1,0)代入y=x+b,得:﹣1+b=0,
解得:b=1,
∴直线BP1的解析式为y=x+1.
联立直线BP1和抛物线的解析式成方程组,得:,
解得:,,
∴点P1的横坐标为﹣4;
(ii)当四边形BMPQ为平行四边形时,过点A作AD∥y轴,交直线BM于点D,过点D作直线P2P3∥AC,交抛物线于点P2,P3.
∵OA=OC,
∴∠OAC=45°.
∵BM⊥AC,DA⊥AB,
∴∠AMB=90°,∠ABM=45°,∠ADM=45°.
在△AMD和△AMB中,,
∴△AMD≌△AMB(AAS),
∴AD=AB,DM=BM.
∴点D的坐标为(﹣5,4).
又∵直线AC的解析式为y=x+5,
∴直线P2P3的解析式为y=x+9.
联立直线P2P3和抛物线的解析式成方程组,得:,
解得:,,
∴点P2的横坐标为,点P3的横坐标为.
综上所述:点P的横坐标为﹣4,或.
(3)作BC的垂直平分线l,垂足为E,交AC于点M1,作BN⊥AC于点N,作点M1关于点N的对称点M2,M1,M2符合条件.如图2所示.
∵点B的坐标为(﹣1,0),点C的坐标为(0,5),
∴点E的坐标为(﹣,),直线BC的解析式为y=5x+5,
∴直线l的解析式为y=﹣x+.
联立直线l和直线AC的解析式成方程组,得:,
解得:,
∴点M1的坐标为(,).
∵直线AC的解析式为y=x+5,点B的坐标为(﹣1,0),BN⊥AC,
∴直线ON的解析式为y=﹣x﹣1.
联立直线ON和直线AC的解析式成方程组,得:,
解得:,
∴点N的坐标为(﹣3,2).
又∵点N为线段M1M2的中点,
∴点M2的坐标为(,).
∴点M的坐标为(,)或(,).
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】为预防传染病,某校定期对教室进行“药熏消毒”.已知药物燃烧阶段,室内每立方米空气中的含药量 与药物在空气中的持续时间成正比例;燃烧后,与成反比例(如图所示).现测得药物分钟燃完,此时教室内每立方米空气含药量为.根据以上信息解答下列问题:
(1)分别求出药物燃烧时及燃烧后 关于的函数表达式.
(2)当每立方米空气中的含药量低于 时,对人体方能无毒害作用,那么从消毒开始,在哪个时段消毒人员不能停留在教室里?
(3)当室内空气中的含药量每立方米不低于 的持续时间超过分钟,才能有效杀灭某种传染病毒.试判断此次消毒是否有效,并说明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,⊙O的内接△ABC的外角∠ACE的平分线交⊙O于点D.DF⊥AC,垂足为F,DE⊥BC,垂足为E.给出下列4个结论:①CE=CF;②∠ACB=∠EDF;③DE是⊙O的切线;④.其中一定成立的是( )
A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】为测量某特种车辆的性能,研究制定了行驶指数,而的大小与平均速度和行驶路程有关(不考虑其他因素),由两部分的和组成,一部分与成正比,另一部分与成正比.在实验中得到了表格中的数据:
速度 | ||
路程 | ||
指数 |
(1)用含和的式子表示;
(2)当行驶指数为,而行驶路程为时,求平均速度的值;
(3)当行驶路程为时,若行驶指数值最大,求平均速度的值.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】张老师为了解学生课前预习的情况,对部分学生进行了跟踪调查,并将调查结果分为四类,A:很好;B:较好;C:一般;D:较差.制成以下两幅不完整的统计图,请你根据统计图解答下列问题:
(1)张老师一共调查了 名同学?
(2)C类女生有 名,D类男生有 名;
(3)为了共同进步,张老师想从被调查的A类和D类学生中各随机选取一位同学进行“一帮一”互助学习,请用列表法或画树状图的方法求出所选两位同学恰好都是男同学的概率.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在平面直角坐标系中,一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的,两点,与轴交于点.
(1)求该反比例函数和一次函数的解析式;
(2)直接写出当时,的取值范围;
(3)在轴上找一点使最大,求的最大值及点的坐标.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,△DCE是△ABC绕着点C顺时针方向旋转得到的,此时B、C、E在同一直线上.
(1)旋转角的大小;
(2)若AB=10,AC=8,求BE的长.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】长为的春游队伍,以的速度向东行进,如图1和图2,当队伍排尾行进到位置时,在排尾处的甲有一物品要送到排头,送到后立即返回排尾,甲的往返速度均为,当甲返回排尾后,他及队伍均停止行进.设排尾从位置开始行进的时间为,排头与的距离为
(1)当时,解答:
①求与的函数关系式(不写的取值范围);
②当甲赶到排头位置时,求的值;在甲从排头返回到排尾过程中,设甲与位置的距离为,求与的函数关系式(不写的取值范围)
(2)设甲这次往返队伍的总时间为,求与的函数关系式(不写的取值范围),并写出队伍在此过程中行进的路程.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com