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【题目】如图(1),抛物线yax2+6x+cx轴于AB两点,交y轴于点C.直线yx+5经过点AC

1)求抛物线的解析式;

2)如图(2),若过点B的直线交直线AC于点M

BMAC时,过抛物线上一动点P(不与点BC重合),作直线BM的平行线交AC于点Q,若以点BMQP为顶点的四边形是平行四边形,求点P的横坐标;

连结BC,当直线BM与直线AC的夹角等于∠ACB2倍时,请直接写出点M的坐标.

【答案】1yx2+6x+5;(2P的横坐标为﹣4M的坐标为()或(

【解析】

1)利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点AC的坐标,由点AC的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式;

2)利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标;

分四边形BMQP为平行四边形和四边形BMPQ为平行四边形两种情况考虑:(i)当四边形BMQP为平行四边形时,过点BBP1AC,交抛物线于点P1,由直线AC的解析式结合点B的坐标可得出直线BP1的解析式,联立直线BP1和抛物线的解析式成方程组,通过解方程组可得出点P1的横坐标;(ii)当四边形BMPQ为平行四边形时,过点AADy轴,交直线BM于点D,易求点D的坐标为(﹣54),过点D作直线P2P3AC,交抛物线于点P2P3,由直线AC的解析式结合点D的坐标可得出直线P2P3的解析式,联立直线P2P3和抛物线的解析式成方程组,通过解方程组可求出点P2P3的横坐标;

BC的垂直平分线l,垂足为E,交AC于点M1,作BNAC于点N,作点M1关于点N的对称点M2M1M2符合条件,由点BC的坐标可求出直线BC的解析式及点E的坐标,结合直线lBC可求出直线l的解析式,联立直线l和直线AC的解析式成方程组,通过解方程组可求出点M1的坐标;由直线AC的解析式、点B的坐标及BNAC可求出直线ON的解析式,联立直线ON和直线AC的解析式成方程组,通过解方程组可求出点N的坐标,再结合点N为线段M1M2的中点可求出点M2的坐标.

1)当x0时,yx+55

∴点C的坐标为(05);

y0时,x+50

解得:x=﹣5

∴点A的坐标为(﹣50).

A(﹣50),C05)代入yax2+6x+c,得:

,解得:

∴抛物线的解析式为yx2+6x+5

2)当y0时,x2+6x+50

解得:x1=﹣5x2=﹣1

∴点B的坐标为(﹣10).

PQBM

∴分两种情况考虑,如图1所示:

i)当四边形BMQP为平行四边形时,过点BBP1AC,交抛物线于点P1

∵直线AC的解析式为yx+5

∴设直线BP1的解析式为yx+b

B(﹣10)代入yx+b,得:﹣1+b0

解得:b1

∴直线BP1的解析式为yx+1

联立直线BP1和抛物线的解析式成方程组,得:

解得:

∴点P1的横坐标为﹣4

ii)当四边形BMPQ为平行四边形时,过点AADy轴,交直线BM于点D,过点D作直线P2P3AC,交抛物线于点P2P3

OAOC

∴∠OAC45°.

BMACDAAB

∴∠AMB90°,∠ABM45°,∠ADM45°.

在△AMD和△AMB中,

∴△AMD≌△AMBAAS),

ADABDMBM

∴点D的坐标为(﹣54).

又∵直线AC的解析式为yx+5

∴直线P2P3的解析式为yx+9

联立直线P2P3和抛物线的解析式成方程组,得:

解得:

∴点P2的横坐标为,点P3的横坐标为

综上所述:点P的横坐标为﹣4

3)作BC的垂直平分线l,垂足为E,交AC于点M1,作BNAC于点N,作点M1关于点N的对称点M2M1M2符合条件.如图2所示.

∵点B的坐标为(﹣10),点C的坐标为(05),

∴点E的坐标为(﹣),直线BC的解析式为y5x+5

∴直线l的解析式为y=﹣x+

联立直线l和直线AC的解析式成方程组,得:

解得:

∴点M1的坐标为().

∵直线AC的解析式为yx+5,点B的坐标为(﹣10),BNAC

∴直线ON的解析式为y=﹣x1

联立直线ON和直线AC的解析式成方程组,得:

解得:

∴点N的坐标为(﹣32).

又∵点N为线段M1M2的中点,

∴点M2的坐标为().

∴点M的坐标为()或().

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