Question

3．已知：如图，AB∥CD，AD、BC交于点E，F为BC上一点，且∠EAF=∠C．
（1）求证：△AEF∽△BAF；
（2）若EF=2，BE=4，求AF．

Answer 1

分析 （1）根据平行线的性质和等量关系可得∠EAF=∠B，再由公共角，由AA可证△AEF∽△BAF；
（2）根据相似三角形的性质可得$\frac{AF}{BF}=\frac{EF}{AF}$，再代入数据计算即可求解．

解答 （1）证明：∵AB∥CD，
∴∠B=∠C，
∵∠EAF=∠C，
∴∠EAF=∠B，
又∵∠EFA=∠EFA，
∴△AEF∽△BAF；
（2）解：由（1）得$\frac{AF}{BF}=\frac{EF}{AF}$，
∴AF²=FE•FB=12，
∴AF²=2$\sqrt{3}$．

点评 主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．