Question

18．如图，抛物线y=-x²+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C（0，3），点B坐标是（3，0），设抛物线的顶点为点D．
（1）求此抛物线的解析式与对称轴；
（2）作直线BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为直线BC上方的二次函数上一个动点（且点P与点B、C不重合），过点P作PF∥DE交直线BC于点F，设点P的横坐标为m；
①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PDEF为平行四边形？
②设△PBC的面积为S，求S与m的函数关系式．S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求出此时P点坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）将点C（0，3）、B（3，0）代入抛物线的解析式可求得得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，从而求得抛物线的解析式为y=-x²+2x+3，由x=-$\frac{b}{2a}$可求得抛物线的对称轴方程为x=1；
（2）①如图1所示：先求得点D的坐标，然后依据待定系数法求得直线BC的解析式为y=-x+3，将x=1代入y=-x+3得y=2，从而得到ED=2，由点P的横坐标为m，可求得y_p=-m²+2m+3，y_F=-m+3．故此PF=y_p-y_F=-m²+3m．当PF=DE=2时四边形PDEF为平行四边形，从而可求得m=2；
②由${S}_{△PCB}=\frac{1}{2}OB•PF$可知S=-$\frac{3}{2}（m-\frac{3}{2}）^{2}$+$\frac{27}{8}$，故此可知当m=$\frac{3}{2}$时，最大值为$\frac{27}{8}$．将x=$\frac{3}{2}$代入抛物线的解析式得：y=$\frac{15}{4}$．故此可知点P的坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）．

解答 解：（1）将点C（0，3）、B（3，0）代入抛物线的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{-9+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
抛物线的解析式为y=-x²+2x+3．
∵x=-$\frac{b}{2a}$，
∴x=-$\frac{2}{-1×2}$=1．
∴抛物线的对称轴为x=1．
（2）①如图1所示：

∵将x=1代入得抛物线的解析式得y=4．
∴点D的坐标为（1，4）．
设直线BC的解析式为ykx+b，将点B、C的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$．
∴直线BC的解析式为y=-x+3．
将x=1代入y=-x+3得：y=-1+3=2．
∴点E的坐标为（1，2）．
∴DE=2．
∵点P的横坐标为m，
∴y_p=-m²+2m+3，y_F=-m+3．
∴PF=y_p-y_F=-m²+3m．
∵四边形PDEF为平行四边形，
∴PF=DE=2，即-m²+3m=2．
解得：m=2或m=1（舍去）．
∴当m=2时，四边形PDEF为平行四边形．
②存在：
理由：如图2所示：

${S}_{△PCB}=\frac{1}{2}OB•PF$=$\frac{1}{2}×3×（-{m}^{2}+3m）$=-$\frac{3}{2}$（m²-3m）=-$\frac{3}{2}（m-\frac{3}{2}）^{2}$+$\frac{27}{8}$．
当m=$\frac{3}{2}$时，△PBC的面积由最大值，最大值为$\frac{27}{8}$．
∵将x=$\frac{3}{2}$代入抛物线的解析式得：y=$\frac{15}{4}$．
∴点P的坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）．

点评 本题主要考查的二次函数的综合应用，解答本题需要同学熟练掌握二次函数和一次函数的性质、平行四边形的性质、三角形的面积公式、待定系数法求一次函数的解析式，明确PF的长等于点P与点F的纵坐标之差是解题的关键．