Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D.E分别在AB.BC上，∠EAD=∠EDA，点F为DE的延长线与AC的延长线的交点.

（1）求证：DE=EF．

（2）判断BD和CF的数量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）BD=CF；详见解析.

【解析】

（1）只要证明EA=ED，EA=EF即可解决问题；
（2）结论：BD=CF．过点D作DG∥AC交BC于G，证明DGE≌FCE ，则DG=CF，再证出DG=BD即可得出结论．

（1）证明：∵∠BAC=90°，

∴∠DAE+∠EAF=90°，

∠ADE+∠F=90°，

∵∠DAE=∠ADE，

∴∠EAF=∠F，

∴EA=EF，

∵∠DAE=∠ADE，

∴EA=ED，

∴DE=EF；

（2）解：BD=CF．
理由：过点D作DG∥AC交BC于G，

∴∠EDG=∠F，

∵ED=EF，∠DEG=∠FEC，

∴DGE≌FCE，

∴DG=CF，

∵AB=AC，

∴∠ACB=∠B，

∵DG∥AC

∴∠ACB=∠DGB，

∴∠B=∠DGB，

∴BD=DG

∴BD=CF．