Question

13．等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC=90°，点A、点B分别是y轴、x轴上的两个动点．
（1）如图1，若A（0，2），B（1，0），求C点的坐标；
（2）如图2，当等腰Rt△ABC运动，直角边AC交x轴于点D，斜边BC交y轴于点E，且点D恰为AC中点时，连接DE，求证：∠ADB=∠CDE；
（3）如图3，在等腰Rt△ABC不断运动的过程中，直角边AC交x轴于点D，斜边BC交y轴于点E，若BD始终是∠ABC平分线，试探究：线段BD与OA+OD之间存在的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）过点C作CF⊥y轴于点F，则△ACF≌△ABO（AAS），即得CF=OA=1，AF=OB=2，从而求得结果；
（2）过点C作CG⊥AC交y轴于点G，则△ACG≌△ABD（ASA），即得CG=AD=CD，∠ADB=∠G，由∠DCE=∠GCE=45°，可证△DCE≌△GCE（SAS）得∠CDE=∠G，从而得到结论；
（3）在OB上截取OH=OD，连接AH，由对称性得AD=AH，∠ADH=∠AHD，可得∠AHD=∠ADH=∠BAO=∠BEO，即得∠AEC=∠BHA，从而证得△ACE≌△BAH（AAS），即可得到 AE=BH=2OA，从而得到结果．

解答 解：（1）如图1，过点C作CF⊥y轴于点F，

∵A（0，2），B（1，0），
∴OA=2，OB=1，
∵CF⊥y轴于点F，
∴∠CFA=90°，∠ACF+∠CAF=90°，
∵∠CAB=90°，
∴∠CAF+∠BAO=90°，
∴∠ACF=∠BAO，
在△ACF和△ABO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACF=∠BAO}\\{∠CFA=∠AOB=9{0}^{°}}\\{AC=AB}\end{array}\right.$
∴△ACF≌△ABO（AAS），
∴CF=OA=1，AF=OB=2
∴OF=1
∴C（-1，-1）；
（2）如图2，过点C作CG⊥AC交y轴于点G，

∵CG⊥AC，
∴∠ACG=90°，∠CAG+∠AGC=90°，
∵∠AOD=90°，
∴∠ADO+∠DAO=90°，
∴∠AGC=∠ADO，
在△ACG和△ABD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACG=∠BAD=9{0}^{°}}\\{∠AGC=∠ADO}\\{AC=AB}\end{array}\right.$
∴△ACG≌△ABD（AAS）
∴CG=AD=CD，∠ADB=∠G，
∵∠ACB=45°，∠ACG=90°，
∴∠DCE=∠GCE=45°，
在△DCE和△GCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=CG}\\{∠DCE=∠GCE}\\{CE=CE}\end{array}\right.$
∴△DCE≌△GCE（SAS）
∴∠CDE=∠G，
∴∠ADB=∠CDE；
（3）如图3，在OB上截取OH=OD，连接AH，

由对称性得AD=AH，∠ADH=∠AHD，
∴∠AHD=∠ADH=∠BAO=∠BEO，
∴∠AEC=∠BHA，
在△ACE和△BAH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAE=∠ABH}\\{∠AEC=∠BHA}\\{AB=AC}\end{array}\right.$
∴△ACE≌△BAH（AAS）
∴AE=BH=2OA
∵DH=2OD，
∴BD=2（OA+OD）．

点评 本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是作出辅助线，构建全等三角形．