Question

已知，P、Q是△ABC的边BC上的两点，且BP=PC=AC，PQ=QC．
（1）如图1，当AP=AC时，求∠BAP和∠PAQ的度数．
（2）如图2，当AP≠AC时，猜想并验证∠BAP和∠PAQ的数量关系．

Answer 1

考点：等腰三角形的性质,三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：

分析：（1）先由△APC是等边三角形，得出∠APC=∠PAC=60°，再由等腰三角形的性质及三角形外角的性质得出∠BAP=30°，根据等腰三角形三线合一的性质得出∠PAQ=

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∠PAC=30°，于是∠BAP=∠PAQ；
（2）取AC中点M，连接PM，QM．在△CAB中，根据三角形中位线的性质得出PM∥AB，PM=

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2

AB，那么∠BAP=∠APM，再证明△APQ≌△PAM，得出∠PAQ=∠APM，于是∠BAP=∠PAQ．

解答：解：（1）∵AP=AC，PC=AC，
∴△APC是等边三角形，
∴∠APC=∠PAC=60°，
∵BP=AP，
∴∠BAP=∠B，
∵∠BAP+∠B=∠APC=60°，
∴∠BAP=30°，
∵AP=AC，PQ=QC，
∴∠PAQ=

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∠PAC=30°，
∴∠BAP=∠PAQ；

（2）取AC中点M，连接PM，QM．
△CAB中，∵BP=PC，AM=MC，
∴PM∥AB，PM=

1

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AB，
∴∠BAP=∠APM，
∵PC=AC，
∴∠APQ=∠PAM，
∵PQ=QC=

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2

PC，AM=MC=

1

2

AC，
∴PQ=AM，
在△APQ和△PAM中，

PQ=AM ∠APQ=∠PAM AP=PA

，
∴△APQ≌△PAM（SAS），
∴∠PAQ=∠APM，
∴∠BAP=∠PAQ．

点评：本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，等边三角形、全等三角形的判定与性质，有一定难度．准确作出辅助线是解决第（2）小题的关键．