Question

8．已知正方形ABCD和正方形AMNG，E、F分别是AD和AB的中点．

（1）尝试探究：
直接写出EG与FM的数量和位置关系；
（2）类比延伸：
正方形AMNG绕A点逆时针旋转90°之后，连接DG、EG、FM、BM，猜想EG与FM的数量和位置关系，试说明理由；
（3）拓展迁移：
正方形AMNG绕A点逆时针旋转α°（0＜α＜180）之后，连接DG、EG、FM、BM，猜想EG与FM的数量和位置关系．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质得出AB=AD，AB⊥AD，进而得出AE=AF，根据E、F分别是AD和AB的中点，得出EG=FM，就可求得结论；
（2）由旋转的性质和正方形的性质可证△DAG≌△BAM，得DG=BM，同时延长延长FM交GE或延长线于H，可证∠EHF=90°，即EG⊥FM．
（3）由旋转的性质和正方形的性质可证△DAG≌△BAM，得DG=BM，设FM交EG于H，交AB于I，可证∠EHF=90°，即EG⊥FM．

解答 解：（1）EG=FM，EG⊥FM；
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，AB⊥AD，
∵E、F分别是AD和AB的中点．
∴AE=AF，
∵四边形AMNG是正方形，
∴AG=AM，
∴AE-AG=AF-AM，即EG=FM，
∵EG、FM是AD、AB上的线段，
∴EG⊥FM；

（2）猜想：EG=FM，EG⊥FM．
证明：如图②，由正方形性质与旋转知AD=AB，AG=AM，∠DAG=∠BAM，
∴△DAG≌△BAM，
∴DG=BM，∠ADG=∠ABM，
∵E、F分别是AD和AB的中点．
∴DE=BF=AE=AF，
在△ADG和△ABM中，
$\left\{\begin{array}{l}{DG=BM}\\{∠ADG=∠ABM}\\{DE=BF}\end{array}\right.$
∴△ADG≌△ABM（SAS），
∴EG=FM，
在△AEG和△AFM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AM}\\{∠EAG=∠FAM}\\{AE=AF}\end{array}\right.$
∴△AEG≌△AFM（SAS），
∴∠AEG=∠AFM，
∵∠AFM+∠AMF=90°，
∴∠AEG+∠AMF=90°，
延长FM交GE或延长线于H，
∵∠AMF=∠EMH，
∴∠AEG+∠EMH=90°，
∴∠EHF=90°，
即EG⊥FM．

（3）猜想：EG=FM，EG⊥FM．
证明：如图③，由正方形性质与旋转知AD=AB，AG=AM，∠DAG=∠BAM，
∴△DAG≌△BAM，
∴DG=BM，∠ADG=∠ABM，
∵E、F分别是AD和AB的中点．
∴DE=BF=AE=AF，
在△ADG和△ABM中，
$\left\{\begin{array}{l}{DG=BM}\\{∠ADG=∠ABM}\\{DE=BF}\end{array}\right.$
∴△ADG≌△ABM（SAS），
∴EG=FM，
在△AEG和△AFM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AM}\\{∠EAG=∠FAM}\\{AE=AF}\end{array}\right.$
∴△AEG≌△AFM（SAS），
∴∠AEG=∠AFM，
设FM交EG于H，交AB于I，
∵∠AFM+∠AIF=90°，
∴∠AEG+∠AIF=90°，
∵∠EIH=∠AIF，
∴∠AEG+∠EIH=90°，
∴∠EHF=90°，
即EG⊥FM．

点评 本题考查了图形的旋转变化，以及正方形的性质和全等三角形的判定，是一道综合性较强的题目，熟练掌握正方形的性质和三角形全等的判定和性质是解题的关键．