Question

16．（1）请用直尺和圆规确定已知圆的圆心，并作出此圆的内接正六边形ABCDEF；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）取CD中点G，连结EG，求tan∠EGD的值．

Answer 1

分析 （1）先作任意两相交弦，再作两弦的垂直平分线，则两垂直平分线的交点为圆的圆心0，接着作半径OA，再以OA为半径在⊙O上依次截取$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$=$\widehat{CD}$=$\widehat{DE}$=$\widehat{EF}$=$\widehat{FA}$，然后顺次连结AB、BC、CD、DE、EF、FA即可；
（2）作EH⊥CD于点H，如图，根据正六边形的性质得∠CDE=120°，DE=CD，则∠EDH=60°，设GD=a，则DE=CD=2a，在Rt△EDH中，利用含30度的直角三角形三边的关系得到DH=a，EH=$\sqrt{3}$DH=$\sqrt{3}$a，然后在Rt△CEH中，根据正切的定义求解．

解答 解：（1）如图，


（2）作EH⊥CD于点H，如图，

∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴∠CDE=120°，DE=CD，
∴∠EDH=60°，
设GD=a，则DE=CD=2a，
Rt△EDH中，∵∠DEH=30°，
∴DH=a，EH=$\sqrt{3}$DH=$\sqrt{3}$a，
在Rt△CEH中，tan∠EGH=$\frac{EH}{GH}$=$\frac{\sqrt{3}a}{a+a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即tan∠EGD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了正六多边形的性质和解直角三角形．