【题目】如图,抛物线交轴于,两点,交轴于点.直线经过点,.
(1)求抛物线的解析式;
(2)过点的直线交直线于点.
①当时,过抛物线上一动点(不与点,重合),作直线的平行线交直线于点,若以点,,,为顶点的四边形是平行四边形,求点的横坐标;
②连接,当直线与直线的夹角等于的倍时,请直接写出点的坐标.
【答案】(1);(2)①点的横坐标为或或;②点的坐标为或.
【解析】
(1)利用一次函数解析式确定C(0,-5),B(5,0),然后利用待定系数法求抛物线解析式;
(2)①先解方程-x2+6x-5=0得A(1,0),再判断△OCB为等腰直角三角形得到∠OBC=∠OCB=45°,则△AMB为等腰直角三角形,所以AM=2,接着根据平行四边形的性质得到PQ=AM=2,PQ⊥BC,作PD⊥x轴交直线BC于D,如图1,利用∠PDQ=45°得到PD=PQ=4,设P(m,-m2+6m-5),则D(m,m-5),讨论:当P点在直线BC上方时,PD=-m2+6m-5-(m-5)=4;当P点在直线BC下方时,PD=m-5-(-m2+6m-5),然后分别解方程即可得到P点的横坐标;
②作AN⊥BC于N,NH⊥x轴于H,作AC的垂直平分线交BC于M1,交AC于E,如图2,利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠AM1B=2∠ACB,再确定N(3,-2),
AC的解析式为y=5x-5,E点坐标为(,-),利用两直线垂直的问题可设直线EM1的解析式为y=-x+b,把E(,-)代入求出b得到直线EM1的解析式为y=-x-,则解方程组得M1点的坐标;作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2,如图2,利用对称性得到∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB,设M2(x,x-5),根据中点坐标公式得到3=,然后求出x即可得到M2的坐标,从而得到满足条件的点M的坐标.
(1)当时,,则,
当时,,解得,则,
把,代入
得:,解得,
∴抛物线解析式为;
(2)①解方程得,,则,
∵,,
∴为等腰直角三角形,
∴,
∵,
∴为等腰直角三角形,
∴,
∵以点,,,为顶点的四边形是平行四边形,,
∴,,
作轴交直线于,如图1所示,则
∴,
设,则,
当点在直线上方时,
,解得,,
当点在直线下方时
,
解得,,
综上所述,点的横坐标为或或;
②作于,轴于,作的垂直平分线交于,交于,如图2,
∵,
∴,
∵,
∵为等腰直角三角形,
∴,
∴,
易得的解析式为,点坐标为,
设直线的解析式为,
把代入得,解得,
∴直线的解析式为,
解方程组,得则;
作直线上作点关于点的对称点,如图2,则,
设,
∵,∴,∴,
综上所述,点的坐标为或.
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【题目】已知:如图,在△ABC中,AB=AC,D为边BC上一点,以AB,BD为邻边作平行四边形ABDE,连接AD,EC.
(1)求证:AD=CE;
(2)当点D在什么位置时,四边形ADCE是矩形,请说明理由.
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【题目】如图,边长为2的正方形的顶点在轴正半轴上,反比例函数的图像在第一象限的图像经过点,交于.
(1)当点的坐标为时,求和的值;
(2)若点是的中点,求的长.
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【题目】小亮和小黄同学在实验室中调制体积相同但浓度不同的化学反应试剂溶液,已知小亮和小黄调制的溶液浓度分别为、.现将小亮调制的溶液的倒入小黄调制的溶液中,混合均匀后再由小黄调制的溶液倒回小亮调制的溶液使其体积恢复到原体积,则互掺后小亮、小黄调制的溶液含纯量的差与互掺前小亮、小黄调制的溶液含纯量的差之比为_______.
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【题目】图①表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上,其中分针上有一点A,当钟面显示3点30分时,分针垂直于桌面,A点距桌面的高度为10cm.图②表示当钟面显示3点45分时,A点距桌面的高度为16cm,若钟面显示3点55分时,A点距桌面的高度为____.
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【题目】已知:如图,在菱形中,,.点为边上的一个动点(与点、不重合),,与边相交于点,联结交对角线于点.设,.
(1)求证:是等边三角形;
(2)求关于的函数解析式,并写出的取值范围;
(3)点是线段的中点,联结,当时,求的值.
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