【题目】如图,AB是⊙O的直径,PA是⊙O的切线,A是切点,BP与⊙O交于点C.
(1)若AB=4,∠ABP=60°,求PB的长;
(2)若CD是⊙O的切线.求证:D是AP的中点.
【答案】(1)PB=8;(2)详见解析.
【解析】
(1)如图1,利用切线的性质得∠BAP=90°,然后根据含30度的直角三角形三边的关系求PB的长;
(2)连接OC、AC,如图2,根据切线的性质得出∠2+∠4=90°,∠1+∠3=90°,利用等腰三角形的性质可证明
∠3=∠4,那么∠1=∠2,CD=AD.根据圆周角定理得∠ACB=90°,再证明∠5=∠P,那么CD=DP,即D是AP的中点.
(1)解:如图1.
∵PA是⊙O的切线,AB是直径,
∴PA⊥AB,
∴∠BAP=90°,
∴∠P+∠ABP=90°,
∵∠ABP=60°,
∴∠P=30°,
又∵AB=4,
∴PB=2AB=2×4=8.
(2)证明:连接OC、AC,如图2,
∵PA是⊙O的切线,CD是⊙O的切线,
∴∠2+∠4=90°,∠1+∠3=90°,
∵OA=OC,
∴∠3=∠4,
∴∠1=∠2,
∴CD=AD.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠1+∠5=90°,∠2+∠P=90°,
∵∠1=∠2,
∴∠5=∠P,
∴CD=DP,
∴CD=AD=DP,
∴D是AP的中点.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点G,点F是CD上一点,且满足 ,连接AF并延长交⊙O于点E,连接AD、DE,若CF=2,AF=3,给出下列结论:①△ADF∽△AED;②CD=8;③tan∠E=;④S△ADE=6,其中正确的有个数是( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,面积为4的正方形OABC的顶点O与坐标原点重合,边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上,点B、P都在函数y=(x>0)的图象上,过动点P分别作轴x、y轴的平行线,交y轴、x轴于点D、E.设矩形PDOE与正方形OABC重叠部分图形的面积为S,点P的横坐标为m.
(1)求k的值;
(2)用含m的代数式表示CD的长;
(3)求S与m之间的函数关系式.
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【题目】已知如图,在△ABC中,∠B=45°,点D是BC边的中点,DE⊥BC于点D,交AB于点E,连接CE.
(1)求∠AEC的度数;
(2)请你判断AE、BE、AC三条线段之间的等量关系,并证明你的结论.
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【题目】如图,直线y1=﹣x+4,y2=x+b都与双曲线y=交于点A(1,m),这两条直线分别与x轴交于B,C两点.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)直接写出当x>0时,不等式x+b>的解集;
(3)若点P在x轴上,连接AP把△ABC的面积分成1:3两部分,求此时点P的坐标.
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【题目】如图,已知锐角△ABC内接于⊙O,连接AO并延长交BC于点D.
(1)求证:∠ACB+∠BAD=90°;
(2)过点D作DE⊥AB于E,若∠ADC=2∠ACB.求证:AC=2DE.
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【题目】甲、乙两车分别从A、B两地同时出发,甲车匀速前往B地,到达B地立即以另一速度按原路匀速返回到A地;乙车匀速前往A地,设甲、乙两车距A地的路程为y(千米),甲车行驶的时间为x(时),y与x之间的函数图象如图所示
(1)求甲车从A地到达B地的行驶时间;
(2)求甲车返回时y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)求乙车到达A地时甲车距A地的路程.
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【题目】已知:AB为⊙O的直径,AB=AC,BC交⊙O于点D,DE⊥AC于E.
(1)求证:DE为⊙O的切线;
(2)连接BE交圆于F,连AF并延长ED于G,若GE=2,AF=3,求∠EAF的度数.
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