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【题目】如图,ABO的直径,PAO的切线,A是切点,BPO交于点C

(1)若AB=4,∠ABP=60°,求PB的长;

(2)若CDO的切线.求证:DAP的中点.

【答案】(1)PB=8;(2)详见解析.

【解析】

(1)如图1,利用切线的性质得∠BAP=90°,然后根据含30度的直角三角形三边的关系求PB的长;
(2)连接OC、AC,如图2,根据切线的性质得出∠2+∠4=90°,∠1+∠3=90°,利用等腰三角形的性质可证明
∠3=∠4,那么∠1=∠2,CD=AD.根据圆周角定理得∠ACB=90°,再证明∠5=∠P,那么CD=DP,即DAP的中点.

(1)解:如图1.

PAO的切线,AB是直径,

PAAB

∴∠BAP=90°,

∴∠P+∠ABP=90°,

∵∠ABP=60°,

∴∠P=30°,

又∵AB=4,

PB=2AB=2×4=8.

(2)证明:连接OCAC,如图2,

PAO的切线,CDO的切线,

∴∠2+∠4=90°,∠1+∠3=90°,

OAOC

∴∠3=∠4,

∴∠1=∠2,

CDAD

ABO的直径,

∴∠ACB=90°,

∴∠1+∠5=90°,∠2+∠P=90°,

∵∠1=∠2,

∴∠5=∠P

CDDP

CDADDP

DAP的中点.

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