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【题目】如图二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A﹣20),B10),y轴于C02).

1求二次函数的解析式

2连接AC在直线AC上方的抛物线上是否存在点N使NAC的面积最大若存在求出这个最大值及此时点N的坐标若不存在说明理由

3若点Mx轴上是否存在点M使以BCM为顶点的三角形是等腰三角形若存在直接写出点M的坐标若不存在说明理由

4P为抛物线上一点PPQBCQy轴左侧的抛物线是否存在点P使CPQ∽△BCOC与点B对应),若存在求出点P的坐标若不存在说明理由

【答案】1y=﹣x2x+2;(2N(﹣12),△ANC的面积有最大值为1;(3M的坐标为(﹣10)或(0)或(0);(4)点P的坐标为:(﹣12)或( ).

【解析】试题分析:(1)利用交点式求二次函数的解析式;

(2)求直线AC的解析式,作辅助线ND,根据抛物线的解析式表示N的坐标,根据直线AC的解析式表示D的坐标,表示ND的长,利用铅直高度与水平宽度的积求三角形ANC的面积,根据二次函数的最值可得面积的最大值,并计算此时N的坐标;

(3)分三种情况:当BCM为顶点的三角形是等腰三角形时,分别以三边为腰,画图形,求M的坐标即可;

(4)存在两种情况:①如图4,点P1与点C关于抛物线的对称轴对称时符合条件;

②如图5,图3中的M0)时,MB=MC,设CM与抛物线交于点P2,则△CP2Q∽△BCOP2为直线CM的抛物线的交点.

试题解析:

解:(1)∵二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A(﹣2,0),B(1,0),

设二次函数的解析式为:y=ax+2)(x﹣1),

C(0,2)代入得:2=a(0+2)(0﹣1),

a=﹣1,

y=﹣(x+2)(x﹣1)=﹣x2x+2,

∴二次函数的解析式为:y=﹣x2x+2.

(2)如图1,过NNDy轴,交ACD,设Nn,﹣n2n+2),

设直线AC的解析式为:y=kx+b

A20)、C02)代入得:

解得:

∴直线AC的解析式为:y=x+2,

Dnn+2),

ND=(﹣n2n+2)﹣(n+2)=﹣n2﹣2n

SANC=×2×[n22n]=n22n=n+12+1

∴当n=﹣1时,△ANC的面积有最大值为1,此时N(﹣1,2),

(3)存在,分三种情况:

①如图2,当BC=CM1时,M1(﹣1,0).

②如图2,由勾股定理得:BC==

B为圆心,以BC为半径画圆,交x轴于M2M3,则BC=BM2=BM3=

此时,M210),M31+0.

③如图3,作BC的中垂线,交x轴于M4,连接CM4,则CM4=BM4

OM4=x,则CM4=BM4=x+1,

由勾股定理得:22+x2=(1+x2

解得:x=

M4x轴的负半轴上,

M40),

综上所述,当BCM为顶点的三角形是等腰三角形时,M的坐标为(﹣10)或(1±0)或(﹣0.

(4)存在两种情况:

①如图4,过Cx轴的平行线交抛物线于P1,过P1P1QBC

此时,△CP1Q∽△BCO

∴点P1与点C关于抛物线的对称轴对称,

P1(﹣1,2),

②如图5,由(3)知:当M0)时,MB=MC,设CM与抛物线交于点P2

P2P2QBC,此时,△CP2Q∽△BCO

易得直线CM的解析式为:y=x+2

解得:P2),

综上所述,点P的坐标为:(﹣12)或().

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