【题目】如图,在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为BC的中点,DE⊥AB,垂足为E,过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F,连接CF.
(1)求证:CD=BF;
(2)求证:AD⊥CF;
(3)连接AF,试判断△ACF的形状.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)△ACF为等腰三角形
【解析】
试题分析:(1)由平行可求得∠CBF=90°,再结合等腰三角形的判定和性质可求得BF=BD,可得BF=CD;
(2)结合(1)的结论,可证明△ACD≌△CBF,可得∠DCG=∠CAD,可证明∠CGD=90°,可得结论;
(3)由(2)可得CF=AD,又AB垂直平分DF,可得AD=AF,可证明CF=AF,可知△ACF为等腰三角形.
(1)证明:
∵AC∥BF,且∠ACB=90°,
∴∠CBF=90°,
又AC=BC,
∴∠DBA=45°,
∵DE⊥AB,
∴∠DEB=∠BEF=∠DBF=90°,
∴∠BDE=∠BFE=45°,
∴BD=BF,
又D为BC中点,
∴CD=BD,
∴CD=BF;
(2)证明:
由(1)可知CD=BF,且CA=CB,∠ACB=∠CBF=90°,
在△ACD和△CBF中
∴△ACD≌△CFB(SAS),
∴∠CAD=∠BCF,
∵∠ACB=90°,
∴∠CAD+∠CDA=90°,
∴∠BCF+∠CDA=90°,
∴∠CGD=90°,
∴AD⊥CF;
(3)解:
由(2)可知△ACD≌△CBF,
∴AD=CF,
由(1)可知AB垂直平分DF,
∴AD=AF,
∴AF=CF,
∴△ACF为等腰三角形.
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【题目】某商场以每件280元的价格购进一批商品,当每件商品售价为360元时,每月可售出60件,为了扩大销售,商场决定采取适当降价的方式促销,经调查发现,如果每件商品降价1元,那么商场每月就可以多售出5件.
(1)设商场每件商品降价x元,利润为y元,写出y与x的函数关系式。
(2)当该商品的销售价为多少元时,所获利润最大?最大利润是多少?
(3)要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元,且更有利于减少库存,则每件商品应降价多少元?
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【题目】下面是“作圆的内接正方形”的尺规作图过程。
已知:⊙O.
求作:圆的内接正方形.
如图,
(1)过圆心O作直线AC,与⊙O相交于A,C两点;
(2)过点O作直线BD⊥AC,交⊙O于B,D两点;
(3)连接AB,BC,CD,DA。
∴四边形ABCD为所求。
请回答:该尺规作图的依据是____________________________。(写出两条)
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【题目】涟水外卖市场竞争激烈,美团、饿了么等公司订单大量增加,某公司负责招聘外卖送餐员,具体方案如下:每月不超出750单,每单收入4元;超出750单的部分每单收入m元.
(1)若某“外卖小哥”某月送了500单,收入 元;
(2)若“外卖小哥”每月收入为y(元),每月送单量为x单,y与x之间的关系如图所示,求y与x之间的函数关系式;
(3)若“外卖小哥”甲和乙在某个月内共送单1200单,且甲送单量低于乙送单量,共收入5000元,问:甲、乙送单量各是多少?
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【题目】在△和△中,,和分别为边和边上的中线,再从以下三个条件:①;②;③中任取两个为已知条件,另一个为结论,则最多可以构成_______个正确的命题.
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【题目】某超市在端午节期间开展优惠活动,凡购物者可以通过转动转盘的方式享受折扣优惠,本次活动共有两种方式,方式一:转动转盘甲,指针指向 A区域时,所购买物品享受9折优惠、指针指向其它区域无优惠;方式二: 同时转动转盘甲和转盘乙,若两个转盘的指针指向每个区域的字母相同,所购买物品享受8折优惠,其它情况无优惠.在每个转盘中,指针指向每个区城的可能性相同(若指针指向分界线,则重新转动转盘)
(1)若顾客选择方式一,则享受 9 折优惠的概率为_______;
(2)若顾客选择方式二,请用树状图或列表法列出所有可能,并求顾客享受8折优惠的概率.
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【题目】已知:如图, 是半圆的直径,D是半圆上的一个动点(点D不与点A,B 重合),
(1)求证:AC是半圆的切线;
(2)过点O作BD的平行线,交AC于点E,交AD于点F,且EF=4, AD=6, 求BD的长.
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【题目】如图所示,在正方形ABCD中,点E是BC边上一点,且BE:EC=2:1,AE与BD交于点F,则△AFD与四边形DFEC的面积之比是________.
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【题目】如图,已知等腰△ABC,∠BAC=120°,AD⊥BC于D点,点P为BA延长线上一点,点O是线段AD上一点,若AC=AO+AP.
(1)求证:∠APO=∠OCA;
(2)求证:△OCP是等边三角形.
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