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【题目】如图,在等腰RtABC中,ACB=90°,D为BC的中点,DEAB,垂足为E,过点B作BFAC交DE的延长线于点F,连接CF.

(1)求证:CD=BF;

(2)求证:ADCF

(3)连接AF,试判断ACF的形状.

【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)ACF为等腰三角形

【解析】

试题分析:(1)由平行可求得CBF=90°,再结合等腰三角形的判定和性质可求得BF=BD,可得BF=CD;

(2)结合(1)的结论,可证明ACD≌△CBF,可得DCG=CAD,可证明CGD=90°,可得结论;

(3)由(2)可得CF=AD,又AB垂直平分DF,可得AD=AF,可证明CF=AF,可知ACF为等腰三角形.

(1)证明:

ACBF,且ACB=90°

∴∠CBF=90°

又AC=BC,

∴∠DBA=45°

DEAB

∴∠DEB=BEF=DBF=90°

∴∠BDE=BFE=45°

BD=BF

又D为BC中点,

CD=BD

CD=BF

(2)证明:

由(1)可知CD=BF,且CA=CB,ACB=CBF=90°

ACDCBF

∴△ACD≌△CFB(SAS),

∴∠CAD=BCF

∵∠ACB=90°

∴∠CAD+CDA=90°

∴∠BCF+CDA=90°

∴∠CGD=90°

ADCF

(3)解:

由(2)可知ACD≌△CBF

AD=CF

由(1)可知AB垂直平分DF,

AD=AF

AF=CF

∴△ACF为等腰三角形.

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