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【题目】如图,在平面直角坐标系中,矩形AOBC的边长为AO=6AC=8

1)如图EOB的中点,将△AOE沿AE折叠后得到△AFE,点F在矩形AOBC内部,延长AFBC于点G.求点G的坐标;

2)定义:若以不在同一直线上的三点中的一点为圆心的圆恰好过另外两个点,这样的圆叫做黄金圆.如图,动点P以每秒2个单位的速度由点C向点A沿线段CA运动,同时点Q以每秒4个单位的速度由点O向点C沿线段OC运动;求:当 PQC三点恰好构成黄金圆时点P的坐标.

【答案】1(8);(2

【解析】

试题(1)由折叠对称的性质可得DAOE≌DAFE,从而推出DEFG≌DEBG,得到DAOE∽DAEG,因此AE2=AO×AG,在Rt△AOE中,由勾股定理可得AE2=36+16=52,从而得AG=,在Rt△ABM中,由勾股定理可得CG=,从而BG=,得到G的坐标为(8);(2)分点C为黄金圆的圆心,点P为黄金圆的圆心,点Q为黄金圆的圆心三种情况讨论即可.

试题解析:(1)如图,连接EG

由题意得:DAOE≌DAFE∴EFG=OBC=900.

∵EOB的中点,∴EG=EGEF=EB=4∴DEFG≌DEBG

∴FEG=BEGAOB=AEG=900. ∴DAOE∽DAEGAE2=AO×AG.

又在Rt△AOE中,∵AO=6OE=4∴AE2=36+16=52.

∴52=6×AGAG=.

Rt△ABM中,由勾股定理可得CG=∴BG=

∴G的坐标为(8) .

2)设运动的时间为t秒,

当点C为黄金圆的圆心时,则CQ=CP

即:2t=10—4t,得到t=,此时CP=AP=P点坐标为

当点P为黄金圆的圆心时,则PC=PQ

如图,过点QAC的垂线交AC于点ECQ=10—4tCP=2t

由三角形相似可知:EQ=CQ=PE=

化简得:

解得(舍去)

此时,AP=P点坐标为

当点Q为黄金圆的圆心时,则QC=PQ

如图,过点QAC的垂线交AC于点FCQ=10—4tCP=2t.

由三角形相似可知:QF=PF=

,整理得

解得(舍去)

此时,AP=P点坐标为

综上所述,P点坐标为

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请根据以上方法,解决下列问题;

(1)请根据以上信息,任写一个真分式 .

(2)已知:

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