Question

2．阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=2，BD=2DC，求AC的长．
小明发现，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，通过构造△ACE，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．
（1）请回答：∠ACE的度数为75°，AC的长为3．
（2）参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在四边形ABCD中，∠BAC=90°，∠CAD=30°，∠ADC=75°，AC与BD交于点E，AE=2，BE=2ED，求AC的长．

Answer 1

分析 根据相似的三角形的判定与性质，可得$\frac{AB}{DF}$=$\frac{AE}{EF}$=$\frac{BE}{DE}$=2，根据等腰三角形的判定，可得AE=AC，根据正切函数，可得DF的长，根据直角三角形的性质，可得AB与DF的关系，根据勾股定理，可得答案．

解答 解：∠ACE=75°，AC的长为3．
过点D作DF⊥AC于点F．
∵∠BAC=90°=∠DFA，
∴AB∥DF，
∴△ABE∽△FDE，
∴$\frac{AB}{DF}$=$\frac{AE}{EF}$=$\frac{BE}{DE}$=2，
∴EF=1，AB=2DF．
在△ACD中，∠CAD=30°，∠ADC=75°，
∴∠ACD=75°，AC=AD．
∵DF⊥AC，
∴∠AFD=90°，
在△AFD中，AF=2+1=3，∠FAD=30°，
∴DF=AFtan30°=$\sqrt{3}$，AD=2DF=2$\sqrt{3}$．
∴AC=AD=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，利用了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理．