Question

如图，△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，已知BC=6cm，AB=10cm，求：
（1）AE+DE的长；
（2）DE的长．

Answer 1

考点：勾股定理,角平分线的性质

专题：

分析：（1）先根据勾股定理求出AC的长，再由角平分线的性质得出DE=CE，故可得出结论；
（2）先根据HL定理得出△BCE≌△BDE，故可得出BD=BC，由此可得出AD的长，由（1）知AE+DE=8，故可设DE=x，则AE=8-x，再根据勾股定理求出x的值即可．

解答：解：（1）∵△ABC中，∠ACB=90°，BC=6cm，AB=10cm，
∴AC=

AB2-BC2

=

102-62

=8cm．
∵BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，
∴DE=CE，
∴AE+DE=AE+CE=AC=8cm；

（2）∵BE平分∠ABC，
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴∠C=∠EDB=90°．
在Rt△BCE与Rt△BDE中，
∵

DE=CE BE=BE

，
∴Rt△BCE≌Rt△BDE（HL），
∴BD=BC=6cm，
∴AD=AB-BD=10-6=4cm．
∵由（1）知AE+DE=8，故可设DE=x，则AE=8-x，
∴4²+x²=（8-x）²，
解得x=3．
故DE的长是3cm．

点评：本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．