Question

【题目】如图1，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接GA、GB、GC、GD、EF，若∠AGD＝∠BGC.

（1）求证：AD＝BC；

（2）求证：△AGD∽△EGF；

（3）如图2，若AD、BC所在直线互相垂直，求的值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）由线段垂直平分线的性质得出GA=GB，GD=GC，由SAS证明△AGD≌△BGC，得出对应边相等即可；

（2）先证出∠AGB=∠DGC，由，证出△AGB∽△DGC，得出比例式，再证出∠AGD=∠EGF，即可得出△AGD∽△EGF；

（3）延长AD交GB于点M，交BC的延长线于点H，则AH⊥BH，由△AGD≌△BGC，得出∠GAD=∠GBC，再求出∠AGB=∠AHB=90°，得出∠AGE=∠AGB=45°，求出，由△AGD∽△EGF，即可得出的值。

（1）证明：GE是AB的垂直平分线，

∴GA＝GB，同理GD＝GC，

在△AGD和△BGC中，∵GA＝GB，∠AGD＝∠BGC，GD＝GC，

∴△AGD ≌△BGC，

∴AD＝BC.

（2）证明：∵∠AGD＝∠BGC，

∴∠AGB＝∠DGC，

在△AGB和△DGC中， ，∠AGB＝∠DGC.，

∴△AGB∽△DGC，

∴ ，

又∠AGE＝∠DGF，

∴∠AGD＝∠EGF，

∴△AGD∽△EGF.

（3）解：如图①，延长AD交GB于点M，交BC的延长线于点H，则AH⊥BH，

由△AGD≌△BGC，知∠GAD＝∠GBC，

在△GAM和△HBM中，∠GAD＝∠GBC，∠GMA＝∠HMB，

∴∠AGB＝∠AHB＝90，

∴∠AGE＝∠AGB＝45，

∴ ＝，

又△AGD∽△EGF，

∴ .