Question

如图1，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠C＝90°，将△CDE绕点C逆时针旋转一个角度，使点A，D，E在同一直线上，连接AD，BE．

(1) ① 依题意补全图2；

② 求证：AD＝BE，且AD⊥BE；

③ 作CM⊥DE，垂足为M，请用等式表示出线段CM，AE，BE之间的数量关系；

(2) 如图3，正方形ABCD边长为，若点P满足PD＝1，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离．

			图3

 

Answer 1

(1) ① 依题意补全图2如图；             ……………………………………1分

② 证明：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，

∴∠ACB－∠DCB＝∠DCE－∠DCB，

即∠ACD＝∠BCE．  ……………………………………2分

又∵CA＝CB，CD＝CE，

∴△ACD≌△BCE，

∴AD＝BE，                         ……………………………………3分

∠CBE＝∠CAD．

设AE与BC交于点F，则∠BFE＝∠AFC，

∵∠AEB＝180°－∠CBE－∠BFE，

∠ACB＝180°－∠CAD－∠AFC，

∴∠AEB＝∠ACB＝90°，

即AD⊥BE．                         ……………………………………4分

③ 线段CM，AE，BE之间的数量关系：AE－BE＝2CM．…………………5分

(2) 点A到BP的距离为1或2．          ……………………………………7分