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【题目】如图,在RtABC中,∠ACB90°,AC8BC6CDAB于点D.点P从点D出发,沿线段DC向点C运动,点Q从点C出发,沿线段CA向点A运动,两点同时出发,速度都为每秒1个单位长度,当点P运动到C时,两点都停止.设运动时间为t秒.

1)求线段CD的长;

2)当t为何值时,△CPQ与△ABC相似?

3)是否存在某一时刻,使得PQ分△ACD的面积为23?若存在,求出t的值,若不存在,请说明理由.

【答案】1CD;(2t3秒或秒时,△CPQ与△ABC相似;(3)不存在,见解析.

【解析】

1)先利用勾股定理求出AB10,进利用面积法求出CD

2)先表示出CP,再判断出∠ACD∠B,进而分两种情况,利用相似三角形得出比例式建立方程求解,即可得出结论;

3)先判断出△CEQ∽△CDA,得出,进而表示出QEt,再分当SCPQSACD时,和当SCPDSACD时,利用面积建立方程求解即可得出结论.

解:(1)在Rt△ABC中,根据勾股定理得,AB10

∵SABCACBCABCD

∴CD

2)由(1)知,CD

由运动知,CQtDPt

∴CPCDDPt

∵∠ACB90°

∴∠ACD+∠BCD90°

∵CD⊥AB

∴∠B+∠BCD90°

∴∠ACD∠B

∵△CPQ△ABC相似,

∴①△CPQ∽△BCA

∴t3

②△CPQ∽△BAC

∴t

即:t3秒或秒时,△CPQ△ABC相似;

3)假设存在,如图,

Rt△ACD中,根据勾股定理得,AD

过点QCE⊥CDE

∴QE∥AD

∴△CEQ∽△CDA

∴QEt

∵SCPQCPQEtt

∴SACDADCD××

∵PQ△ACD的面积为23

∴①SCPQSACD时,

tt×××

∴25t2120t+384012024×25×38414400384000

此方程无解,即:此种情况不存在,

SCPDSACD时,tt×××

∴25t2120t+5760,而12024×25×57614400576000

此方程无解,即:此种情况不存在,

即:不存在某时刻,使得PQ△ACD的面积为23

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A.3

B.4

C.1

D.2

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