Question

如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于O，BE平分∠DBC交AC于F，交DC于E，求证：OF=

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DE．

Answer 1

考点：三角形中位线定理,等腰三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：证明题

分析：作OG∥AB交BE于点G，则OG是△BDE的中位线，根据正方边形的性质求得∠AFB和∠ABF的度数，即可证明OG=OF，据此即可证得．

解答：证明：作OG∥AB交BE于点G．
∵O是BD的中点，
∴OG是△BDE的中位线，
∴OG=

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DE，
∵正方形ABCD中，∠ABD=∠DBC=45°，
又BE是∠DBC的平分线，
∴∠ABF=45°+

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×45°=67.5°．
∵AB∥OG，
∴∠OGF=∠ABF=67.5°，
又∵在△ABF中，∠BAF=45°，
∴∠AFB=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠OGF=∠AFB，
∴OF=OG，
∴OF=

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DE．

点评：本题是正方形的性质、三角形的中位线定理以及等腰三角形的判定定理的综合应用，正确作出辅助线是关键．