[题目]如图.在平面直角坐标系中.已知△AOB是等边三角形.点A的坐标是(0.4).点B在一象限.点P(t.0)是x轴上的一个动点.连接AP.并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转.使边AO与AB重合.连接OD.PD.得△OPD.(1)当t＝时.求DP的长(2)在点P运动过程中.依照条件所形成的△OPD面积为S①当t＞0时.求S与t之间的函数关系式②当t� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是（0，4），点B在一象限，点P（t，0）是x轴上的一个动点，连接AP，并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，连接OD，PD，得△OPD。

（1）当t＝时，求DP的长

（2）在点P运动过程中，依照条件所形成的△OPD面积为S

①当t＞0时，求S与t之间的函数关系式

②当t≤0时，要使s＝，请直接写出所有符合条件的点P的坐标.

【答案】（1）DP=；（2）①；②.

【解析】

（1）先判断出△ADP是等边三角形，进而得出DP=AP，即可得出结论；
（2）①先求出GH= 2，进而求出DG，再得出DH，即可得出结论；
②分两种情况，利用三角形的面积建立方程求解即可得出结论．

解：（1）∵A（0，4），
∴OA=4，
∵P（t，0），
∴OP=t，
∵△ABD是由△AOP旋转得到，
∴△ABD≌△AOP，
∴AP=AD，∠DAB=∠PAO，
∴∠DAP=∠BAO=60°，
∴△ADP是等边三角形，
∴DP=AP，
∵ ，
∴，
∴；

（2）①当t＞0时，如图1，BD=OP=t，

过点B，D分别作x轴的垂线，垂足于F，H，过点B作x轴的平行线，分别交y轴于点E，交DH于点G，
∵△OAB为等边三角形，BE⊥y轴，
∴∠ABP=30°，AP=OP=2，
∵∠ABD=90°，
∴∠DBG=60°，
∴DG=BDsin60°= ，
∵GH=OE=2，
∴ ，
∴ ；

②当t≤0时，分两种情况：
∵点D在x轴上时，如图2

在Rt△ABD中，，
(1)当时，如图3，BD=OP=-t，，

∴，
∴，
∴或，
∴ 或，
（2）当时，如图4，

BD=OP=-t，，
∴，
∴

∴或（舍）

∴ ．

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