Question

已知：如图，以△ABC的两边AB、AC为边向外作等边△ADB和等边△AEC，DC、BE交于点O．
（1）求证：DC=BE；
（2）求∠BOC的度数；
（3）当∠BAC的度数变化时，∠BOC的度数是否变化．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）易证∠DAB=∠EAC=60°，AD=AB，AE=AC，即可求得∠DAC=∠BAE，即可证明△DAC≌△BAE；
（2）根据（1）中结论可得∠ADC=∠ABE，即可求得∠ODB+∠OBD=∠ADB+∠ABD，根据三角形外角性质即可解题；
（3）由（2）可得∠ODB+∠OBD=∠ADB+∠ABD，因此可以判定∠BOC和∠BAC大小无关．

解答：（1）证明：∵△ADB和△AEC都是等边三角形，
∴∠DAB=∠EAC=60°，AD=AB，AE=AC，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，

AD=AB ∠DAC=∠BAE AC=AE

，
∴△DAC≌△BAE（SAS）；
（2）解：∵△DAC≌△BAE，
∴∠ADC=∠ABE，
∴∠ODB+∠OBD=∠ADB-∠ADC+∠ABD+∠ABE=∠ADB+∠ABD=120°，
∴∠BOC=∠ODB+∠OBD=120°，
（3）解：∵由（2）可得∠ODB+∠OBD=∠ADB+∠ABD，
∴∠BOC和∠BAC大小无关．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角相等的性质，本题中求证△DAC≌△BAE是解题的关键．