Question

【题目】邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下的一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形，如图1，ABCD中，若AB=1，BC=2，则ABCD为1阶准菱形．

（1）猜想与计算：

邻边长分别为3和5的平行四边形是_______阶准菱形；已知ABCD的邻边长分别为a，b（a＞b），满足a=8b+r，b=5r，请写出ABCD___________阶准菱形．

（2）操作与推理：

小明为了剪去一个菱形，进行了如下操作：如图2，把ABCD沿BE折叠（点E在AD上），使点A落在BC边上的点F处，得到四边形ABFE．请证明四边形ABFE是菱形．

Answer 1

【答案】（1）3，12；（2）证明见解析．

【解析】试题分析：（1）利用平行四边形准菱形的意义即可得出结论；

（2）先判断出∠AEB=∠ABE，进而判断出AE=BF，即可得出结论．

试题解析：解：（1）如图1，利用邻边长分别为3和5的平行四边形进行3次操作，所剩四边形是边长为1的菱形，故邻边长分别为3和5的平行四边形是3阶准菱形：

如图2，∵b=5r，∴a=8b+r=40r+r=8×5r+r，利用邻边长分别为41r和5r的平行四边形进行8+4=12次操作，所剩四边形是边长为1的菱形，故邻边长分别为41r和5r的平行四边形是12阶准菱形：

故答案为：3，12．

（2）由折叠知：∠ABE=∠FBE，AB=BF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥BF，∴∠AEB=∠FBE，∴∠AEB=∠ABE，∴AE=AB，∴AE=BF，∴四边形ABFE是平行四边形，∴四边形ABFE是菱形．