如图①，、是⊙的两条弦， ， 是的中点， ，垂足为．

求证： ．

小敏在解答此题时，利用了“补短法”进行证明，她的方法如下：

如图②，延长至，使，连接、、、、．

（请你在下面的空白处完成小敏的证明过程．）

推广运用

如图③，等边内接于⊙， ． 是上一点， ， ，垂足为，则的周长是__________．

拓展研究

如图④，若将“问题提出”中的“是的中点”改成“是的中点”，其余条件不变，“”这一结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，写出、、三者之间存在的关系并说明理由．

（1）在这个过程中，自变量是　 　，因变量是　 　．

（2）景点离小明家多远？

（3）小明一家在景点游玩的时间是多少小时？

（4）小明到家的时间是几点？

【题目】如图，在中， 为边的中点． 是上一点，⊙与相切于点，且与、分别相交于点、．连接交于点．

（）求证： ．

（）已知， ．当是⊙的直径时，求的长．

①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；

②沿河岸直走20m有一树C，继续前行20m到达D处；

③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；

④测得DE的长为5米．

求：（1）河的宽度是多少米？

（2）请你证明他们做法的正确性．

【题目】年巴西里约奥运会期间，南京某奥运特许经营商店以每件元的价格购进了一批奥运纪念恤，定价为元时，平均每天可售出件，为了扩大销售，增加盈利，此奥运特许经营商店决定采取适当的降价措施，经调查发现，在一定范围内，奥运纪念恤的单价每降元，每天可多售出件．当这种奥运纪念恤每件的价格定为多少元时，商店每天获利元？

（1）若BC=5，求△ADE的周长．

（2）若∠BAD+∠CAE=60°，求∠BAC的度数．

A. 40°B. 41°C. 42°D. 43°

【题目】是⊙的内接三角形， ．⊙的半径为， 到的距离为．

（）求的长；

（）的度数为__________．

（1）直接写出BC的长是　 　，点D的坐标是　 　；

（2）证明：△AEF与△DCE相似；

（3）当△EFC为等腰三角形时，求点E的坐标．

(1)这项工程的规定时间是多少天?

(2)为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作完成．则甲、乙两队合作完成该工程需要多少天?