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【题目】阅读下面材料:

在数学课上,老师提出如下问题:

已知:如图1ABC,尺规作图:求作∠APC=∠ABC.

甲、乙两位同学的主要作法如下:

甲同学的主要作法,如图甲:①作∠CAD=∠ACB,且点D与点BAC的异侧;②在射线AD上截取APCB,连结CP.所以∠APC=∠ABC.

乙同学的主要作法,如图乙:①作线段BC的垂直平分线a;②作线段AB的垂直平分线b,与直线a交于点O;③以点O为圆心,OA为半径作⊙O;④在上取一点P(点P不与点ABC重合),连结APCP.所以∠ACP=∠ABC.

老师说:两位同学的作法都是正确的.”

请你选择一位同学的作法,并说明这位同学作图的依据.

我选择的是_________的作法,这样作图的依据是_________.

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【题目】明朝的数学家程大位在《算法统宗》中有一道古诗趣题:甲赶群羊逐草茂,乙拽只羊随其后,戏问甲及一百否?甲云所曰无差谬;若得这般一群羊,再添半群小半群,得你一只来方凑,玄机妙算谁猜透?其大意是:甲赶一群羊去放,乙也牵着一只羊跟在甲的后面.乙问甲:你的这群羊有没有一百只呢?甲说:我再得这样的一群羊,再得这群羊的一半,还得这群羊的四分之一,最后凑上你的这只羊,正好是一百只.”问甲原有多少只羊?设甲原有x只羊,根据题意,可列方程为_________________________

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【题目】本学期,大兴区开展了恰同学少年,品诗词美韵中华传统诗词大赛活动小江统计了班级30名同学四月份的诗词背诵数量,具体数据如表所示:

诗词数量

4

5

6

7

8

9

10

11

人数

3

4

4

5

7

5

1

1

那么这30名同学四月份诗词背诵数量的众数和中位数分别是  

A. 11,7 B. 7,5 C. 8,8 D. 8,7

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【题目】某村在推进美丽乡村的活动中,决定建设幸福广场,计划铺设相同大小规格的红色和蓝色地砖.经过调查,获取信息如下:

购买数量低于5000

购买数量不低于5000

红色地砖

原价销售

以八折销售

蓝色地砖

原价销售

以九折销售

如果购买红色地砖4000块,蓝色地砖6000块,需付款86000元;如果购买红色地砖10000块,蓝色地砖3500块,需付款99000元.则红色地砖与蓝色地砖的单价各为多少元?

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【题目】对角线长分别为68的菱形ABCD如图所示,点O为对角线的交点,过点O折叠菱形,使B的对应点为B'C的对应点为C'MN是折痕若B'M1,则CN的长为____

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【题目】已知矩形ABCD的一条边AD=8,将矩形ABCD折叠,使得顶点B落在CD边上的P点处.

1)如图1,已知折痕与边BC交于点O,连接APOPOA

求证:△OCP∽△PDA

△OCP△PDA的面积比为14,求边AB的长.

2)若图1中的点P恰好是CD边的中点,求∠OAB的度数;

3)如图2,在(1)的条件下,擦去折痕AO,线段OP,连结BP,动点M在线段AP⊥(点M与点FA不重合),动点N在线段AB的延长线上,且BN=PM,连结MNPB于点F,作ME⊥BP于点E.试问当点MN在移动过程中,线段EF的长度是否发生变化?若变化,说明理由;说明理由;若不变,求出线段EF的长度.

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【题目】现今“微信运动”被越来越多的人关注和喜爱,某兴趣小组随机调查了我市50名教师某日“微信运动”中的步数情况进行统计整理,绘制了如下的统计图表(不完整):

步数

频数

频率

0≤x<4000

8

a

4000≤x<8000

15

0.3

8000≤x<12000

12

b

12000≤x<16000

c

0.2

16000≤x<20000

3

0.06

20000≤x<24000

d

0.04

请根据以上信息,解答下列问题:

(1)写出a,b,c,d的值并补全频数分布直方图;

(2)本市约有37800名教师,用调查的样本数据估计日行走步数超过12000步(包含12000步)的教师有多少名?

(3)若在50名被调查的教师中,选取日行走步数超过16000步(包含16000步的两名教师与大家分享心得,求被选取的两名教师恰好都在20000步(包含20000步)以上的概率.

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【题目】如图,直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6a≠0)相交于A)和B4m),点P是线段AB上异于AB的动点,过点PPC⊥x轴于点D,交抛物线于点C

1)求抛物线的解析式;

2)是否存在这样的P点,使线段PC的长有最大值,若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由;

3)求PAC为直角三角形时点P的坐标.

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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,AC=6,将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C',此时点A'恰好在AB边上,则点B'与点B之间的距离为(  )

A. 12 B. 6 C. 6 D.

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【题目】小明在一次数学兴趣小组活动中,对一个数学问题作如下探究:

问题情境:如图1,四边形ABCD中,AD∥BC,点EDC边的中点,连结AE并延长交BC的延长线于点F.求证:S四边形ABCDSABF.(S表示面积)

问题迁移:如图2,在已知锐角∠AOB内有一定点P.过点P任意作一条直线MN,分别交射线OAOB于点MN.小明将直线MN绕着点P旋转的过程中发现,△MON的面积存在最小值.请问当直线MN在什么位置时,△MON的面积最小,并说明理由.

实际应用:如图3,若在道路OAOB之间有一村庄Q发生疫情,防疫部分计划以公路OAOB和经过防疫站的一条直线MN为隔离线,建立一个面积最小的三角形隔离区△MON.若测得∠AOB66∠POB30OP4km,试求△MON的面积.(结果精确到0.1km2)(参考数据:sin66≈0.91tan66≈2.25≈1.73

拓展延伸:如图4,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点ABCP的坐标分别为(60)、(63)、、(42),过点P的直线l与四边形OABC一组对边相交,将四边形OABC分成两个四边形,求其中以点O为顶点的四边形的面积的最大值.

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同步练习册答案