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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+x+3与x轴交于A、B两点(点A在点B的右侧),与y轴交于点C,过点C作x轴的平行线交抛物线于点P.连接AC.
(1)求点P的坐标及直线AC的解析式;
(2)如图2,过点P作x轴的垂线,垂足为E,将线段OE绕点O逆时针旋转得到OF,旋转角为α(0°<α<90°),连接FA、FC.求AF+CF的最小值;
(3)如图3,点M为线段OA上一点,以OM为边在第一象限内作正方形OMNG,当正方形OMNG的顶点N恰好落在线段AC上时,将正方形OMNG沿x轴向右平移,记平移中的正方形OMNG为正方形O′MNG,当点M与点A重合时停止平移.设平移的距离为t,正方形O′MNG的边MN与AC交于点R,连接O′P、O′R、PR,是否存在t的值,使△O′PR为直角三角形?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】数学不仅是一门学科,也是一种文化,即数学文化.数学文化包括数学史、数学美和数学应用等多方面.古时候,在某个王国里有一位聪明的大臣,他发明了国际象棋,献给了国王,国王从此迷上了下棋,为了对聪明的大臣表示感谢,国王答应满足这位大臣的一个要求.大臣说:“就在这个棋盘上放一些米粒吧.第格放粒米,第格放粒米,第格放粒米,然后是粒、粒、粒······一只到第格.”“你真傻!就要这么一点米粒?”国王哈哈大笑.大臣说:“就怕您的国库里没有这么多米!”国王的国库里真没有这么多米吗?题中问题就是求是多少?请同学们阅读以下解答过程就知道答案了.
设,
则
即:
事实上,按照这位大臣的要求,放满一个棋盘上的个格子需要粒米.那么到底多大呢?借助计算机中的计算器进行计算,可知答案是一个位数: ,这是一个非常大的数,所以国王是不能满足大臣的要求.请用你学到的方法解决以下问题:
我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座层塔共挂了盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的倍,则塔的顶层共有多少盏灯?
计算:
某中学“数学社团”开发了一款应用软件,推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:
已知一列数:,其中第一项是,接下来的两项是,再接下来的三项是,以此类推,求满足如下条件的所有正整数,且这一数列前项和为的正整数幂.请直接写出所有满足条件的软件激活码正整数的值.
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【题目】在平行四边形ABCD中,点E是AD边上的点,连接BE.
(1)如图1,若BE平分∠ABC,BC=8,ED=3,求平行四边形ABCD的周长;
(2)如图2,点F是平行四边形外一点,FB=CD.连接BF、CF,CF与BE相交于点G,若∠FBE+∠ABC=180°,点G是CF的中点,求证:2BG+ED=BC.
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【题目】“一带一路”为我们打开了交流、合作的大门,也为沿线各国在商贸等领域提供了更多的便捷,2018年11月5日至10日,首届中国国际进口博览会在国家会展中心(上海)举办,据哈外贸商会发布消息,博览会期间,哈Paseka公司与重庆某国际贸易公司签订了供应蜂蜜合同:哈Paseka公司于2019年6月前分期分批向重庆某国际贸易公司供给优质蜂蜜共3000万件,该公司顺应新时代购物流,打算分线上和线下两种方式销售.
(1)若计划线上销售量不低于线下销售量的25%,求该公司计划在线下销售量最多为多少万件?
(2)该公司在12月上旬销售优质蜂蜜共240万件,且线上线下销售单件均为100元/件.12月中旬决定线上销售单价下调m%,线下销售单价不变,在这种情况下,12月中旬销售总量比上旬增加了m%,且中旬线上销售量占中旬总销量的,结果中旬销售总金额比上旬销售总金额提高了m%.求m的值.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,边长为3的正方形ABCD在第一象限内,AB∥x轴,点A的坐标为(5,4)经过点O、点C作直线l,将直线l沿y轴上下平移.
(1)当直线l与正方形ABCD只有一个公共点时,求直线l的解析式;
(2)当直线l在平移过程中恰好平分正方形ABCD的面积时,直线l分别与x轴、y轴相交于点E、点F,连接BE、BF,求△BEF的面积.
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【题目】重庆八中建校80周年,在体育、艺术、科技等方面各具特色,其中排球选修课是体育特色项目之一.体育组老师为了了解初一年级学生的训练情况,随机抽取了初一年级部分学生进行1分钟垫球测试,并将这些学生的测试成绩(即1分钟的垫球个数,且这些测试成绩都在60~180范围内)分段后给出相应等级,具体为:测试成绩在60~90范围内的记为D级(不包括90),90~120范围内的记为C级(不包括120),120~150范围内的记为B级(不包括150),150~180范围内的记为A级.现将数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图,其中在扇形统计图中A级对应的圆心角为90°,请根据图中的信息解答下列问题:
(1)在这次测试中,一共抽取了 名学生,并补全频数分布直方图:在扇形统计图中,D级对应的圆心角的度数为 度.
(2)王攀同学在这次测试中1分钟垫球140个.他为了了解自己垫球个数在年级排名的大致情况,他把成绩为B等的全部同学1分钟垫球人数做了统计,其统计结果如表:
成绩(个) | 120 | 125 | 130 | 135 | 140 | 145 |
人数(频数) | 2 | 8 | 3 | 10 | 9 | 8 |
(垫球个数计数原则:120<垫球个数≤125记为125,125<垫球个数≤130记为130,依此类推)请你估计王攀同学的1分钟垫球个数在年级排名的大致情况.
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【题目】2018年10月21日,重庆市第八届中小学艺术工作坊在渝北区空港新城小学体育馆开幕,来自全重庆市各个区县共二十多个工作坊集中展示了自己的艺术特色.组委会准备为现场展示的参赛选手购买三种纪念品,其中甲纪念品5元/件,乙纪念品7元/件,丙纪念品10元/件.要求购买乙纪念品数量是丙纪念品数量的2倍,总费用为346元.若使购买的纪念品总数最多,则应购买纪念品共_____件.
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【题目】一辆快车从甲地驶往乙地,一辆慢车从乙地驶往甲地,两车同时出发,匀速行驶.设行驶的时间为x(时),两车之间的距离为y(千米),图中的折线表示从两车出发至快车到达乙地过程中y与x之间的函数关系.已知两车相遇时快车比慢车多行驶60千米.若快车从甲地到达乙地所需时间为t时,则此时慢车与甲地相距_____千米.
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【题目】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,AB=10.现分别以点A、点B为圆心,以大于AB相同的长为半径作弧,两弧相交于点M和点N,作直线MN交AB于点D,交BC于点E.若将△BDE沿直线MN翻折得△B′DE,使△B′DE与△ABC落在同一平面内,连接B′E、B′C,则△B′CE的周长为_____.
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