【题目】某商家在购进一款产品时，由于运输成本及产品成本的提高，该产品第天的成本（元/件）与（天）之间的关系如图所示，并连续50天均以80元/件的价格出售，第天该产品的销售量（件）与（天）满足关系式．

（1）第40天，该商家获得的利润是______元；

（2）设第天该商家出售该产品的利润为元．

①求与之间的函数关系式，并指出第几天的利润最大，最大利润是多少？

②在出售该产品的过程中，当天利润不低于1000元的共有多少天？

【题目】定义：如图1，在中，把绕点逆时针旋转（）并延长一倍得到，把绕点顺时针旋转并延长一倍得到，连接．当时，称是的“倍旋三角形”，边上的中线叫做的“倍旋中线”．

特例感知：

（1）如图1，当，时，则“倍旋中线”长为______；如图2，当为等边三角形时，“倍旋中线”与的数量关系为______；

猜想论证：

（2）在图3中，当为任意三角形时，猜想“倍旋中线”与的数量关系，并给予证明．

【题目】如图，正六边形的对称中心在反比例函数（，）的图象上，边在轴上，点在轴上，已知．

（1）点是否在该反比例函数的图象上？请说明理由；

（2）若该反比例函数图象与交于点，求点的横坐标；

（3）平移正六边形，使其一边的两个端点恰好都落在该反比例函数的图象上，试描述平移过程．

【题目】如图，将一张正方形纸片，依次沿着折痕，（其中）向上翻折两次，形成“小船”的图样．若，四边形与的周长差为，则正方形的周长为______．

【题目】如图，在中，，，，点在边上，且，点为边上的动点，将沿直线翻折，点落在点处，则点到边距离的最小值是（ ）

A.3.2B.2C.1.2D.1

A. 6B. 8

C. 10D. 12

【题目】设平面内一点到等边三角形中心的距离为d，等边三角形的内切圆半径为r，外接圆半径为R .对于一个点与等边三角形，给出如下定义：满足r≤d≤R的点叫做等边三角形的中心关联点.在平面直角坐标系xOy中，等边△ABC的三个顶点的坐标分别为A(0，2)，B（﹣，﹣1），C(，﹣1).

（1）已知点D（2，2），E（，1），F（，﹣1）.在D，E，F中，是等边△ABC的中心关联点的是 ；

（2）如图1，过点A作直线交x轴正半轴于M，使∠AMO=30°.

①若线段AM上存在等边△ABC的中心关联点P（m，n），求m的取值范围；

②将直线AM向下平移得到直线y=kx+b，当b满足什么条件时，直线y=kx+b上总存在等边△ABC的中心关联点；（直接写出答案，不需过程）

（3）如图2，点Q为直线y=﹣1上一动点，⊙Q的半径为.当Q从点（﹣4，﹣1）出发，以每秒1个单位的速度向右移动，运动时间为t秒.是否存在某一时刻t，使得⊙Q上所有点都是等边△ABC的中心关联点？如果存在，请直接写出所有符合题意的t的值；如果不存在，请说明理由.

【题目】如图，直线是线段的垂直平分线，交线段于点，在下方的直线上取一点，连接，以线段为边，在上方作正方形，射线交直线于点，连接．

（1）设，求的度数；

（2）写出线段、之间的等量关系，并证明．

【题目】在平面直角坐标系中，点，将点向左平移6个单位长度，得到点．

（1）直接写出点的坐标；

（2）若抛物线经过点，，求抛物线的表达式；

（3）若抛物线的顶点在直线上移动，当抛物线与线段有2个公共点时，求抛物线顶点横坐标的取值范围．

　　收集数据

从八、九两个年级各随机抽取20名学生进行体质健康测试，测试成绩（百分制）如下：

整理、描述数据

将成绩按如下分段整理、描述这两组样本数据：

（说明：成绩80分及以上为体质健康优秀，70～79分为体质健康良好，60～69分为体质健康合格，60分以下为体质健康不合格）

　　分析数据

两组样本数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示：

（1）表格中a的值为______；

（2）请你估计该校九年级体质健康优秀的学生人数为多少？

（3）根据以上信息，你认为哪个年级学生的体质健康情况更好一些？请说明理由．（请从两个不同的角度说明推断的合理性）