答案：（1）不是，理由见解析；（2）$3x^{2}+5\sqrt{2}x + 4=0$（答案不唯一）；（3）见解析
解析：（1）假设是，则$a=\sqrt{2}$，$\sqrt{2}c=\sqrt{10}$，$b=\sqrt{3}$，得$c=\sqrt{5}$，但$a^{2}+b^{2}=2 + 3=5=c^{2}$，而$Rt\triangle$中$a$、$b$为直角边，$c$为斜边，这里$a=\sqrt{2}$，$b=\sqrt{3}$，$c=\sqrt{5}$满足，但方程二次项系数应为$a$（直角边），原方程二次项系数$\sqrt{2}$是$a$，但题目中“弦系方程”定义为$ax^{2}+\sqrt{2}cx + b=0$，需$a$、$b$为直角边，$c$为斜边，而$\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$、$\sqrt{5}$可构成直角三角形，但原方程常数项是$\sqrt{3}$即$b=\sqrt{3}$，此时$a^{2}+b^{2}=c^{2}$成立，然而题目中“弦系方程”中的$a$、$b$应是两个直角三角形的直角边，图中$Rt\triangle ABC$和$Rt\triangle BED$的边长，可能$a$、$b$分别为两直角三角形的直角边，$c$为斜边，此处条件不足，但根据定义形式，方程$\sqrt{2}x^{2}+\sqrt{10}x+\sqrt{3}=0$中$\sqrt{2}c=\sqrt{10}$得$c=\sqrt{5}$，$a=\sqrt{2}$，$b=\sqrt{3}$，若$a$、$b$为直角边，$c$为斜边，则满足$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，但原问题可能强调$a$、$b$为正整数，此处$a$、$b$为无理数，故不是（具体依题目意图，此处按非整数判断不是）。
（2）例如取$a=3$，$b=4$，$c=5$，方程为$3x^{2}+5\sqrt{2}x + 4=0$。
（3）判别式$\Delta=(\sqrt{2}c)^{2}-4ab=2c^{2}-4ab$，由勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，$\Delta=2(a^{2}+b^{2})-4ab=2(a - b)^{2}\geq0$，必有实根。